Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє
x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана
серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл
68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія
P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Менше за x
P(X < x) = Φ(z)
Більше за x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
  2. Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
  3. Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
  4. Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме
x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
  2. Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
  3. Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
  4. Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для середнього
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%
відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
  2. Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
  3. Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
  4. Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил
b = Sxy/Sxx
Вільний член
a = ȳ − b·x̄
Кореляція
r = Sxy/√(SxxSyy)
Залишок
e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію
χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit)
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення
відхилити H0, якщо χ² > χ²crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Дослідженню, проведеному лише з американськими студентами бакалаврату, може бракувати:

  1. AЗмістової валідності
  2. BВнутрішньої узгодженості
  3. CПопуляційної валідності
  4. DНадійності між оцінювачами
2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Учасник приймає препарат або цукрову пігулку, але не знає, що саме, а дослідник знає. Що це за дизайн і яке упередження залишається можливим?

  1. AВідкрите випробування; ефекти плацебо повністю контрольовано
  2. BОдинарний сліпий; упередженість експериментатора ще можлива
  3. CПодвійний сліпий; жодне упередження неможливе
  4. DОдинарний сліпий; вимоги ситуації неможливі
3.Описова статистикаСередня
30354045505560

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 27, 46, 60, 44, 26, 57, 51.

n = 7
s =
4.Описова статистикаСкладна
z −2−1012

Величина розподілена нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 20. Яка частка P значень менша за 112?

μ = 100σ = 20x = 112
P =
5.ІмовірністьСередня
червоні: 5сині: 8

У мішечку 5 червоних і 8 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?

5 / 8
P =
6.ІмовірністьСкладна
n = 10, p = 0,2: P(X ≤ 1) = ?k012345678910

Тестують 10 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,2. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?

n = 10p = 0,2
P =
7.Нормальний розподілСередня
53,585P = ?

Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Яка частка значень лежить між 53,5 і 85 балів? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 65σ = 10x1 = 53,5x2 = 85
P =
8.Нормальний розподілСкладна
157164171178185192199cmниз 20%

значення зросту дорослих чоловіків нормально розподілені із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 20% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 178 cmσ = 7 cm20%
x = cm
9.Довірчі інтервалиСередня
n = 20, s = 1,5L = ?Ux̄ = 77E99%

Вибірка з 20 елементів має середнє 77 і стандартне відхилення s = 1,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 20x̄ = 77s = 1,599%t(19) = 2,861
нижня межа =
10.Довірчі інтервалиСкладна
σ = 7, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 290%

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 7. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 90 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 2?

σ = 7E = 290%
n =
11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
t −2,06402,064

Вибірка з 25 студентів має середній бал 500,6 і вибіркове стандартне відхилення 4. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 500,6s = 4n = 25
t =
12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
σ = 5, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 1,599%

Якою має бути вибірка, щоб 99 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 1,5? Стандартне відхилення — 5. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.

σ = 5E = 1,599%
n =
13.Лінійна регресія та кореляціяСередня
xy2146688111015xy510051015

Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 5Σx = 30Σy = 41Σx² = 220Σy² = 447Σxy = 312
r =
14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
xy14491660185520662286xy15206080x = 17

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 17.

n = 5x = 17
ŷ =
15.Критерії хі-квадратСередня
без дефектунезначнийзначнийРазомденна зміна14144068нічна зміна20201353Разом343453121

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Для критерію незалежності хі-квадрат знайдіть очікувану частоту E для клітинки «нічна зміна, значний».

сума рядка = 53сума стовпця = 53N = 121
E =
16.Критерії хі-квадратСкладна
такніРазомлінія 1182240лінія 2582280лінія 37822100Разом15466220dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Таблиця містить спостережувані частоти. Перевірте при α = 0,01, чи дві змінні незалежні (без поправки на неперервність). Обчисліть статистику критерію χ², а потім порівняйте її з критичним значенням з таблиці.

N = 2203 × 2α = 0,01
χ² =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: C · Популяційної валідності

Чому це відповідь

Популяційна валідність — вид зовнішньої валідності. Вибірки переважно з молодих, західних і освічених людей можуть не репрезентувати інших.

Відповідь

C · Популяційної валідності
2.Методи досліджень у психології

Відповідь: B · Одинарний сліпий; упередженість експериментатора ще можлива

Чому це відповідь

В одинарному сліпому дизайні учасники не знають своєї умови, що контролює очікування плацебо. Знання дослідника однаково може впливати на результати, тому перевагу віддають подвійним сліпим дизайнам.

Відповідь

B · Одинарний сліпий; упередженість експериментатора ще можлива
3.Описова статистика

Відповідь: s = 13,48

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 311/7 = 44,43

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−17,43)² + 1,571² + 15,57² + (−0,4286)² + (−18,43)² + 12,57² + 6,571² = 1090

Стандартне відхилення

s = √(1090/6) = 13,48

Відповідь

s = 13,48
4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,7257

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Стандартизуйте

z = 0,6

Таблиця нормального розподілу

Φ(0,6) = 0,7257
P = 0,7257

Відповідь

P = 0,7257
5.Імовірність

Відповідь: P = 0,1282

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Перше і друге витягування

P = 5/13 · 4/12 = 20/156 = 0,1282

Відповідь

P = 0,1282
6.Імовірність

Відповідь: P = 0,3758

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Нуль і одна відмова

P(X = 0) = 0,810 = 0,1074
P(X = 1) = 10·0,2·0,89 = 0,2684

Додайте

P = 0,1074 + 0,2684 = 0,3758

Відповідь

P = 0,3758
7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,8522

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (53,5 − 65)/10 = −1,15
z₂ = (85 − 65)/10 = 2

Площа між

P = Φ(2) − Φ(−1,15) = 0,9772 − 0,1251 = 0,8522

Відповідь

P = 0,8522
8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 172,1 cm

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,2

z з таблиці

z ≈ −0,84

Назад до початкових одиниць

x = 178 − 0,84·7 = 172,1 cm

Відповідь

x = 172,1 cm
9.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 76,04

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 19, t = 2,861

Похибка оцінки

E = 2,861·1,5/√20 = 0,9596

Інтервал

77 ± 0,9596 → [76,04, 77,96]

Відповідь

нижня межа = 76,04
10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 34

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (1,645·7/2)² = 33,15

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 34

Відповідь

n = 34
11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 0,75

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 4/√25 = 4/5 = 0,8

Статистика критерію

t = (500,6 − 500)/0,8 = 0,75

Відповідь

t = 0,75
t0,025; df = 24 = 2,064

|t| < 2.064, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 74

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Виразіть n

n = (2,576·5/1,5)² = 73,73

Округліть угору

n = 74

Відповідь

n = 74
13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9914

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

Sxy = 312 − 30·41/5 = 66
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 447 − 41²/5 = 110,8

Коефіцієнт кореляції

r = 66/√(40·110,8) = 0,9914

Відповідь

r = 0,9914
14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 59,2

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 90/5 = 18
ȳ = 316/5 = 63,2

Суми квадратів і добутків

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 160

Лінія регресії

b = 160/40 = 4
a = 63,2 − 4·18 = −8,8
ŷ = −8,8 + 4·x

Прогноз

ŷ = −8,8 + 4·17 = 59,2

Відповідь

ŷ = 59,2
15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: E = 23,21

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувана частота

E = 53·53/121 = 23,21

Відповідь

E = 23,21
16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 15,19

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

лінія 1: 28, 12
лінія 2: 56, 24
лінія 3: 70, 30

Статистика хі-квадрат

χ² = (18 − 28)²/28 + (22 − 12)²/12 + (58 − 56)²/56 + (22 − 24)²/24 + (78 − 70)²/70 + (22 − 30)²/30
χ² = 15,19

Рішення

df = 2, χ²crit = 9,210
15,19 > 9,210

Відповідь

χ² = 15,19

χ² вище за критичне значення, тож H₀ відхиляється: змінні, схоже, пов’язані.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology