Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Дослідник надсилає опитувальник усім студентам, а потім просить респондентів залучити друзів, які теж користуються рідкісним застосунком для сну. Який метод формування вибірки використано на другому кроці?

AСистематичну вибірку
BСтратифіковану вибірку
CВипадкову вибірку
DВибірку «сніжної кулі»

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Двоє спостерігачів фіксують агресивні дії на ігровому майданчику, і їхні підрахунки корелюють на рівні r = 0,45. Що має зробити дослідник?

AПрийняти дані, бо будь-якої позитивної кореляції достатньо
BУточнити категорії поведінки, навчити спостерігачів і знову перевірити узгодженість
CПерейти до односторонньої гіпотези
DВикористовувати лише більший із двох підрахунків

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 52, 13, 17, 45, 24, 20, 32.

n = 7

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 15. Яка частка P значень менша за 70?

μ = 100σ = 15x = 70

P =

5.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3

σ =

6.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = −2X + 5. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,25, 0,2, 0,2Y = −2X + 5

σ_Y =

7.Нормальний розподілСередня

Нехай тривалості доставки розподілені нормально із середнім 32 min і стандартним відхиленням 6 min. Яка частка значень лежить між 32,3 і 33,2 min? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 32σ = 6x₁ = 32,3x₂ = 33,2

P =

8.Нормальний розподілСкладна

Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,02 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,015 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,015 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.

отвір: μ = 25,02 mm, σ = 0,015 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

9.Довірчі інтервалиСередня

Артеріальний тиск 6 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє −6,5 і стандартне відхилення 3,9. Знайдіть верхню межу 95 % довірчого інтервалу для середньої різниці.

n = 6d̄ = −6,5s_d = 3,995%t(5) = 2,571

верхня межа = mmHg

10.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 9 ділянок, середній урожай 74 kg, стандартне відхилення 1,5 kg. Група ділянок 2: 5 ділянок, середнє 76,5 kg, стандартне відхилення 6,5 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть верхню межу 95 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 9x̄₁ = 74s₁ = 1,5n₂ = 5x̄₂ = 76,5s₂ = 6,595%t(12) = 2,179

верхня межа = kg

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 100 студентів має середній бал 76,8 і вибіркове стандартне відхилення 15. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 76,8s = 15n = 100

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 49 вимірювань має середнє 101,1. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 5. Знайдіть верхню межу U 99 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 101,1σ = 5n = 4999%

U =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 6

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 7.

n = 6x = 7

ŷ =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Для критерію незалежності хі-квадрат знайдіть очікувану частоту E для клітинки «нічна зміна, значний».

сума рядка = 61сума стовпця = 55N = 120

E =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій узгодженості хі-квадрат порівнює спостережувані частоти в 5 категоріях з повністю заданими очікуваними частками (жодних параметрів з даних не оцінюють). Скільки ступенів вільності df має критерій?

k = 5

df =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: D · Вибірку «сніжної кулі»

Чому це відповідь

Вибірка «сніжної кулі» корисна для важкодоступних груп, але учасники, ймовірно, матимуть спільні характеристики, і вибірка не репрезентативна.

Відповідь

D · Вибірку «сніжної кулі»

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: B · Уточнити категорії поведінки, навчити спостерігачів і знову перевірити узгодженість

Чому це відповідь

Низька надійність між спостерігачами означає, що категорії застосовують непослідовно. Чіткіші операційні визначення й тренувальні сесії мають підвищити узгодженість до основного збирання даних.

Відповідь

B · Уточнити категорії поведінки, навчити спостерігачів і знову перевірити узгодженість

3.Описова статистика

Відповідь: s = 14,72

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 203/7 = 29

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 23² + (−16)² + (−12)² + 16² + (−5)² + (−9)² + 3² = 1300

Стандартне відхилення

s = √(1300/6) = 14,72

Відповідь

s = 14,72

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,02275

Стандартизуйте

z = −2

Таблиця нормального розподілу

Φ(−2) = 0,02275

P = 0,02275

Відповідь

P = 0,02275

5.Імовірність

Відповідь: σ = 0,8047

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55

Дисперсія

Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475

σ = √0,6475 = 0,8047

Відповідь

σ = 0,8047

6.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 2,269

Розкид X

μ = 1,25, Var(X) = 1,288, σ_X = 1,135

Лінійна зміна

σ_Y = |−2|·1,135 = 2,269

Відповідь

σ_Y = 2,269

Середнє таки зсувається: E(Y) = −2·1,25 + 5 = 2,5.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,05932

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (32,3 − 32)/6 = 0,05

z₂ = (33,2 − 32)/6 = 0,2

Площа між

P = Φ(0,2) − Φ(0,05) = 0,5793 − 0,5199 = 0,05932

Відповідь

P = 0,05932

8.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,8264

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл різниці

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02121 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,02)/0,02121 = −0,94

Імовірність

P = 1 − Φ(−0,94) = 0,8264

Відповідь

P = 0,8264

9.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = −2,407 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критичне значення

df = 5, t = 2,571

Похибка оцінки

E = 2,571·3,9/√6 = 4,093

Інтервал

−6,5 ± 4,093 → [−10,59, −2,407]

Відповідь

верхня межа = −2,407 mmHg

10.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 2,298 kg

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (8·1,5² + 4·6,5²)/12 = 15,58

s_p = 3,948

Похибка оцінки

E = 2,179·3,948·√(1/9 + 1/5) = 4,798

Інтервал

−2,5 ± 4,798 → [−7,298, 2,298]

Відповідь

верхня межа = 2,298 kg

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 1,2

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 15/√100 = 15/10 = 1,5

Статистика критерію

t = (76,8 − 75)/1,5 = 1,2

Відповідь

t = 1,2

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: U = 102,9

Похибка оцінки

E = 2,576·5/√49 = 1,84

Межа інтервалу

U = 101,1 + 1,84 = 102,9

Відповідь

U = 102,9

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9974

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 166/6 = 27,67

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 298

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1275

Коефіцієнт кореляції

r = 298/√(70·1275) = 0,9974

Відповідь

r = 0,9974

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 28,33

Середні

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 170/6 = 28,33

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 264

Лінія регресії

b = 264/70 = 3,771

a = 28,33 − 3,771·7 = 1,933

ŷ = 1,933 + 3,771·x

Прогноз

ŷ = 1,933 + 3,771·7 = 28,33

Відповідь

ŷ = 28,33

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: E = 27,96

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувана частота

E = 61·55/120 = 27,96

Відповідь

E = 27,96

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: df = 4

Ступені вільності

df = 5 − 1 = 4

Відповідь

df = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology