Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Який тест порівнює дві незалежні групи, коли дані порядкові або явно не нормальні?

AТест хі-квадрат
BТест знакових рангів Вілкоксона
Ct-тест для незалежних вибірок
DU-тест Манна–Вітні

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Дослідник збирає дані в дев'яти часових точках і щоразу тестує на рівні 5% без корекції. У чому проблема?

AРозмір ефекту зменшується з кожним тестом
BЙмовірність хоча б одного хибнопозитивного результату значно перевищує 5%
CТакий підхід не має проблем
DДані щоразу стають надійнішими, тож останній тест найточніший

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 30, 56, 37, 42, 48.

n = 5

s =

4.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 40. Знайдіть z-оцінку z для результату 524.

μ = 500σ = 40x = 524

z =

5.ІмовірністьСередня

Скількома способами N можна обрати комісію з 5 осіб із групи з 9 осіб? Порядок не має значення.

n = 9k = 5

N =

6.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = −2X + 10. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,15, 0,2, 0,2, 0,2Y = −2X + 10

σ_Y =

7.Нормальний розподілСередня

Маси ящики незалежні та нормальні із середнім 12 kg і середнім квадратичним відхиленням 0,8 kg. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 4 з них перевищує 50,4 kg. Округліть z до двох знаків після коми.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 4> 50,4 kg

P =

8.Нормальний розподілСкладна

бали за іспит нормально розподілені із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 90% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 65 балівσ = 10 балів90%

x = балів

9.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 15 елементів має середнє 80 і стандартне відхилення s = 17. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 95 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 15x̄ = 80s = 1795%t(14) = 2,145

верхня межа =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 8. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 0,5?

σ = 8E = 0,595%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Порівнюють два методи навчання. Група 1: 24 студентів, середній бал 67,5, стандартне відхилення 4. Група 2: 7 студентів, середній бал 69,8, стандартне відхилення 6. Вважайте дисперсії генеральних сукупностей рівними й використайте двовибірковий t-критерій з об’єднаною дисперсією. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (група 1 мінус група 2).

n₁ = 24x̄₁ = 67,5s₁ = 4n₂ = 7x̄₂ = 69,8s₂ = 6

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій на рівні α = 0,01 має виявляти зсув середнього на 3 одиниць із потужністю 90 %. Стандартне відхилення 11. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.

α = 0,01потужність = 90%δ = 3σ = 11z_α = 2,326z_β = 1,282

n =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 5

r² =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 57?

n = 5ŷ = 57

x =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Для критерію незалежності хі-квадрат знайдіть очікувану частоту E для клітинки «працівники, автомобіль».

сума рядка = 95сума стовпця = 56N = 164

E =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Таблиця містить спостережувані частоти. Перевірте при α = 0,05, чи дві змінні незалежні (без поправки на неперервність). Обчисліть статистику критерію χ², а потім порівняйте її з критичним значенням з таблиці.

N = 2803 × 2α = 0,05

χ² =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: D · U-тест Манна–Вітні

Чому це відповідь

U-тест Манна–Вітні порівнює ранги між двома непов'язаними групами. Тест знакових рангів Вілкоксона призначений для пов'язаних вибірок.

Відповідь

D · U-тест Манна–Вітні

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: B · Ймовірність хоча б одного хибнопозитивного результату значно перевищує 5%

Чому це відповідь

При дев'яти незалежних тестах імовірність хоча б однієї помилки I роду становить приблизно 1 − 0,95⁹ ≈ 37%. Для цього застосовують корекції, як-от Бонферроні.

Відповідь

B · Ймовірність хоча б одного хибнопозитивного результату значно перевищує 5%

3.Описова статистика

Відповідь: s = 9,99

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 213/5 = 42,6

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−12,6)² + 13,4² + (−5,6)² + (−0,6)² + 5,4² = 399,2

Стандартне відхилення

s = √(399,2/4) = 9,99

Відповідь

s = 9,99

4.Описова статистика

Відповідь: z = 0,6

Стандартизуйте

z = (524 − 500)/40 = 0,6

Відповідь

z = 0,6

5.Імовірність

Відповідь: N = 126

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Комбінації

C(9, 5) = (9·8·7·6·5)/(5·4·3·2·1) = 126

Відповідь

N = 126

6.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 2,931

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Розкид X

μ = 1,95, Var(X) = 2,147, σ_X = 1,465

Лінійна зміна

σ_Y = |−2|·1,465 = 2,931

Відповідь

σ_Y = 2,931

Середнє таки зсувається: E(Y) = −2·1,95 + 10 = 6,1.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,06681

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ_T = 48 kg, σ_T = 0,8·√4 = 1,6 kg

Стандартизуйте

z = (50,4 − 48)/1,6 = 1,5

Імовірність

P = 1 − Φ(1,5) = 0,06681

Відповідь

P = 0,06681

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 77,8 балів

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,9

z з таблиці

z ≈ 1,28

Назад до початкових одиниць

x = 65 + 1,28·10 = 77,8 балів

Відповідь

x = 77,8 балів

9.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 89,42

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 14, t = 2,145

Похибка оцінки

E = 2,145·17/√15 = 9,415

Інтервал

80 ± 9,415 → [70,58, 89,42]

Відповідь

верхня межа = 89,42

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 984

Виразіть n

n = (1,96·8/0,5)² = 983,4

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 984

Відповідь

n = 984

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −1,193

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Об’єднана дисперсія

s_p² = (23·4² + 6·6²)/29 = 20,14

s_p = 4,488

Стандартна похибка

SE = 4,488·√(1/24 + 1/7) = 1,928

Статистика критерію

t = (67,5 − 69,8)/1,928 = −1,193

Відповідь

t = −1,193

При df = 29 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,045; |t| менше, тож H₀ не відхиляється.

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 176

Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.

Виразіть n

n = ((2,326 + 1,282)·11/3)² = 175

Округліть угору

n = 176

Відповідь

n = 176

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,7996

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 228/5 = 45,6

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 35

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 153,2

Коефіцієнт детермінації

r² = 35²/(10·153,2) = 0,7996

Відповідь

r² = 0,7996

Близько 79,96% варіації y пояснюється прямою.

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 5,436

Середні

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 273/5 = 54,6

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 55

Лінія регресії

b = 55/10 = 5,5

a = 54,6 − 5,5·5 = 27,1

ŷ = 27,1 + 5,5·x

Розв’яжіть щодо x

x = (57 − 27,1)/5,5 = 5,436

Відповідь

x = 5,436

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: E = 32,44

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувана частота

E = 95·56/164 = 32,44

Відповідь

E = 32,44

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 76,25

Очікувані частоти

лінія 1: 50, 50

лінія 2: 50, 50

лінія 3: 40, 40

Статистика хі-квадрат

χ² = (33 − 50)²/50 + (67 − 50)²/50 + (34 − 50)²/50 + (66 − 50)²/50 + (73 − 40)²/40 + (7 − 40)²/40

χ² = 76,25

Рішення

df = 2, χ²_crit = 5,991

76,25 > 5,991

Відповідь

χ² = 76,25

χ² вище за критичне значення, тож H₀ відхиляється: змінні, схоже, пов’язані.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology