Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Тест настільки легкий, що майже всі учасники набирають бали, близькі до максимуму. Це називають:

AЕфектом стелі
BЕфектом практики
CЕфектом підлоги
DЕфектом порядку

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Дослідник проводить п'ять t-тестів і хоче утримати загальний рівень помилки I роду на 0,05 за допомогою поправки Бонферроні. Який рівень значущості слід використати для кожного тесту?

A0,05
B0,25
C0,01
D0,025

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 41, 53, 34, 19, 51.

n = 5

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 15. Яка частка P значень менша за 192,5?

μ = 170σ = 15x = 192,5

P =

5.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,1, 0,2, 0,3, 0,15, 0,25

σ =

6.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = 5X − 3. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35Y = 5X − 3

σ_Y =

7.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,9426. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,9426

z =

8.Нормальний розподілСкладна

Нехай тривалості доставки розподілені нормально із середнім 32 min і стандартним відхиленням 6 min. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 20 % значень (20-й процентиль).

μ = 32σ = 6P = 20%

x = min

9.Довірчі інтервалиСередня

Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 80 телефонів, середнє 100 h, відоме стандартне відхилення 11 h. Модель 2: 30 телефонів, середнє 111 h, відоме стандартне відхилення 8 h. Знайдіть верхню межу 90 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 100 hσ₁ = 11 hn₂ = 30x̄₂ = 111 hσ₂ = 8 h90%

верхня межа = h

10.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 6 ділянок, середній урожай 42,5 kg, стандартне відхилення 9 kg. Група ділянок 2: 15 ділянок, середнє 33,5 kg, стандартне відхилення 8,5 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть верхню межу 90 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 6x̄₁ = 42,5s₁ = 9n₂ = 15x̄₂ = 33,5s₂ = 8,590%t(19) = 1,729

верхня межа = kg

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Порівнюють два методи навчання. Група 1: 9 студентів, середній бал 20,5, стандартне відхилення 3,5. Група 2: 13 студентів, середній бал 24,2, стандартне відхилення 12. Вважайте дисперсії генеральних сукупностей рівними й використайте двовибірковий t-критерій з об’єднаною дисперсією. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (група 1 мінус група 2).

n₁ = 9x̄₁ = 20,5s₁ = 3,5n₂ = 13x̄₂ = 24,2s₂ = 12

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 81 вимірювань має середнє 198,5. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 8. Знайдіть верхню межу U 90 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 198,5σ = 8n = 8190%

U =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 5Σx = 15Σy = 87Σx² = 55Σy² = 1645Σxy = 225

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 56?

n = 6ŷ = 56

x =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 2202 × 3

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Таблиця містить спостережувані частоти. Перевірте при α = 0,05, чи дві змінні незалежні (без поправки на неперервність). Обчисліть статистику критерію χ², а потім порівняйте її з критичним значенням з таблиці.

N = 2003 × 2α = 0,05

χ² =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Ефектом стелі

Чому це відповідь

Ефекти стелі приховують відмінності між умовами, бо ніхто не може набрати більше. Ефекти підлоги — протилежність, коли завдання надто складне.

Відповідь

A · Ефектом стелі

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: C · 0,01

Чому це відповідь

Поправка Бонферроні ділить α на кількість порівнянь: 0,05 / 5 = 0,01. Вона проста, але консервативна, що підвищує ризик помилок II роду.

Відповідь

C · 0,01

3.Описова статистика

Відповідь: s = 13,85

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 198/5 = 39,6

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 1,4² + 13,4² + (−5,6)² + (−20,6)² + 11,4² = 767,2

Стандартне відхилення

s = √(767,2/4) = 13,85

Відповідь

s = 13,85

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,9332

Стандартизуйте

z = 1,5

Таблиця нормального розподілу

Φ(1,5) = 0,9332

P = 0,9332

Відповідь

P = 0,9332

5.Імовірність

Відповідь: σ = 1,299

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,1 + 1·0,2 + 2·0,3 + 3·0,15 + 4·0,25 = 2,25

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,1 + 1·0,2 + 4·0,3 + 9·0,15 + 16·0,25 = 6,75

Дисперсія

Var(X) = 6,75 − 2,25² = 1,688

σ = √1,688 = 1,299

Відповідь

σ = 1,299

6.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 4,183

Розкид X

μ = 1, Var(X) = 0,7, σ_X = 0,8367

Лінійна зміна

σ_Y = |5|·0,8367 = 4,183

Відповідь

σ_Y = 4,183

Середнє таки зсувається: E(Y) = 5·1 − 3 = 2.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 1,9

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = (1 + 0,9426)/2 = 0,9713

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,9713 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 1,90

Відповідь

z = 1,90

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 26,95 min

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Назад до x

x = 32 + −0,8416·6 = 26,95 min

Відповідь

x = 26,95 min

9.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = −7,859 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точкова оцінка

x̄₁ − x̄₂ = 100 − 111 = −11

Стандартна похибка

SE = √(11²/80 + 8²/30) = 1,909

Похибка оцінки

E = 1,645·1,909 = 3,141

Інтервал

−11 ± 3,141 → [−14,14, −7,859]

Відповідь

верхня межа = −7,859 h

Інтервал не містить 0, тож середні значуще відрізняються.

10.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 16,21 kg

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (5·9² + 14·8,5²)/19 = 74,55

s_p = 8,634

Похибка оцінки

E = 1,729·8,634·√(1/6 + 1/15) = 7,211

Інтервал

9 ± 7,211 → [1,789, 16,21]

Відповідь

верхня межа = 16,21 kg

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −0,893

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Об’єднана дисперсія

s_p² = (8·3,5² + 12·12²)/20 = 91,3

s_p = 9,555

Стандартна похибка

SE = 9,555·√(1/9 + 1/13) = 4,143

Статистика критерію

t = (20,5 − 24,2)/4,143 = −0,893

Відповідь

t = −0,893

При df = 20 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,086; |t| менше, тож H₀ не відхиляється.

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: U = 200

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Похибка оцінки

E = 1,645·8/√81 = 1,462

Межа інтервалу

U = 198,5 + 1,462 = 200

Відповідь

U = 200

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = −0,9939

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 225 − 15·87/5 = −36

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 1645 − 87²/5 = 131,2

Коефіцієнт кореляції

r = −36/√(10·131,2) = −0,9939

Відповідь

r = −0,9939

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 4,509

Середні

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 313/6 = 52,17

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 66,5

Лінія регресії

b = 66,5/17,5 = 3,8

a = 52,17 − 3,8·3,5 = 38,87

ŷ = 38,87 + 3,8·x

Розв’яжіть щодо x

x = (56 − 38,87)/3,8 = 4,509

Відповідь

x = 4,509

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 13,63

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

міські: 120·66/220 = 36, 120·66/220 = 36, 120·88/220 = 48

сільські: 100·66/220 = 30, 100·66/220 = 30, 100·88/220 = 40

Статистика хі-квадрат

χ² = (48 − 36)²/36 + (34 − 36)²/36 + (38 − 48)²/48 + (18 − 30)²/30 + (32 − 30)²/30 + (50 − 40)²/40

χ² = 13,63

Відповідь

χ² = 13,63

df = 2. При α = 0,05 критичне значення 5,991, тож H₀ (незалежність) відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 3,313

Очікувані частоти

вік 18–30: 42, 18

вік 31–50: 42, 18

вік 51+: 56, 24

Статистика хі-квадрат

χ² = (47 − 42)²/42 + (13 − 18)²/18 + (38 − 42)²/42 + (22 − 18)²/18 + (55 − 56)²/56 + (25 − 24)²/24

χ² = 3,313

Рішення

df = 2, χ²_crit = 5,991

3,313 < 5,991

Відповідь

χ² = 3,313

χ² нижче за критичне значення, тож H₀ не відхиляється: значущих доказів зв’язку немає.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology