Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Стандартна похибка середнього зменшується, коли:

AЗмінну вимірюють на порядковому рівні
BОбсяг вибірки збільшується
CОбсяг вибірки зменшується
DСереднє збільшується

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Дослідник проводить п'ять t-тестів і хоче утримати загальний рівень помилки I роду на 0,05 за допомогою поправки Бонферроні. Який рівень значущості слід використати для кожного тесту?

A0,05
B0,01
C0,025
D0,25

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 47, 36, 30, 32, 48, 58.

n = 6

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 50 і стандартним відхиленням 12. Яка частка P значень більша за 38?

μ = 50σ = 12x = 38

P =

5.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,1, 0,35, 0,25, 0,15, 0,15

σ =

6.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = 0,5X + 20. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35Y = 0,5X + 20

σ_Y =

7.Нормальний розподілСередня

Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Яка частка значень лежить між 246 і 255 g? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 250σ = 5x₁ = 246x₂ = 255

P =

8.Нормальний розподілСкладна

Час кола бігуна A (X) і час кола бігуна B (Y) незалежні та нормальні: X має середнє 52 s і середнє квадратичне відхилення 4 s, Y має середнє 48 s і середнє квадратичне відхилення 3 s. Знайдіть імовірність P того, що X більше за Y. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

9.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 9 елементів має середнє 77 і стандартне відхилення s = 19,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 95 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 9x̄ = 77s = 19,595%t(8) = 2,306

E =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 17 ділянок, середній урожай 28 kg, стандартне відхилення 4 kg. Група ділянок 2: 9 ділянок, середнє 34 kg, стандартне відхилення 8,5 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть верхню межу 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 17x̄₁ = 28s₁ = 4n₂ = 9x̄₂ = 34s₂ = 8,599%t(24) = 2,797

верхня межа = kg

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 50; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 12,5. Випадкова вибірка з 25 спостережень має середнє 44,2. Перевірте H₀: μ = 50 проти H₁: μ ≠ 50. Знайдіть p-значення p.

μ₀ = 50σ = 12,5n = 25x̄ = 44,2H₁: μ ≠ μ₀

p =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій для H₀: μ = 50 проти H₁: μ > 50 виконують на рівні α = 0,01 за вибіркою обсягом 64; стандартне відхилення відоме й дорівнює 12. Насправді середнє дорівнює 53,6. Знайдіть потужність 1 − β критерію у відсотках.

μ₀ = 50μ = 53,6σ = 12n = 64α = 0,01

1 − β = %

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 6Σx = 21Σy = 114Σx² = 91Σy² = 2286Σxy = 356

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (6,5, 58). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 6(6,5, 58)

e =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 2002 × 3

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій незалежності хі-квадрат застосовують до таблиці спряженості з 2 рядками й 3 стовпцями (без урахування підсумків). За таблицею знайдіть критичне значення χ²_crit при рівні значущості α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: B · Обсяг вибірки збільшується

Чому це відповідь

Стандартна похибка оцінює, наскільки середні вибірок коливаються навколо середнього популяції. Більші вибірки дають точніші оцінки.

Відповідь

B · Обсяг вибірки збільшується

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: B · 0,01

Чому це відповідь

Поправка Бонферроні ділить α на кількість порівнянь: 0,05 / 5 = 0,01. Вона проста, але консервативна, що підвищує ризик помилок II роду.

Відповідь

B · 0,01

3.Описова статистика

Відповідь: s = 10,93

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 251/6 = 41,83

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 5,167² + (−5,833)² + (−11,83)² + (−9,833)² + 6,167² + 16,17² = 596,8

Стандартне відхилення

s = √(596,8/5) = 10,93

Відповідь

s = 10,93

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,8413

Стандартизуйте

z = −1

Таблиця нормального розподілу

Φ(−1) = 0,1587

P = 1 − 0,1587 = 0,8413

Відповідь

P = 0,8413

5.Імовірність

Відповідь: σ = 1,221

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,1 + 1·0,35 + 2·0,25 + 3·0,15 + 4·0,15 = 1,9

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,1 + 1·0,35 + 4·0,25 + 9·0,15 + 16·0,15 = 5,1

Дисперсія

Var(X) = 5,1 − 1,9² = 1,49

σ = √1,49 = 1,221

Відповідь

σ = 1,221

6.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 0,4023

Розкид X

μ = 1,05, Var(X) = 0,6475, σ_X = 0,8047

Лінійна зміна

σ_Y = |0,5|·0,8047 = 0,4023

Відповідь

σ_Y = 0,4023

Середнє таки зсувається: E(Y) = 0,5·1,05 + 20 = 20,52.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,6295

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (246 − 250)/5 = −0,8

z₂ = (255 − 250)/5 = 1

Площа між

P = Φ(1) − Φ(−0,8) = 0,8413 − 0,2119 = 0,6295

Відповідь

P = 0,6295

8.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,7881

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл різниці

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Стандартизуйте

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Імовірність

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Відповідь

P = 0,7881

9.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 14,99

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 8, t = 2,306

Похибка оцінки

E = 2,306·19,5/√9 = 14,99

Відповідь

E = 14,99

10.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 0,7969 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (16·4² + 8·8,5²)/24 = 34,75

s_p = 5,895

Похибка оцінки

E = 2,797·5,895·√(1/17 + 1/9) = 6,797

Інтервал

−6 ± 6,797 → [−12,8, 0,7969]

Відповідь

верхня межа = 0,7969 kg

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: p = 0,02034

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерію

SE = σ/√n = 12,5/√25 = 2,5

z = (44,2 − 50)/2,5 = −2,32

Площа хвоста

Φ(2,32) = 0,9898

1 − Φ(2,32) = 0,0102

p-значення

p = 2·0,0102 = 0,02034

Відповідь

p = 0,02034

p ≤ 0,05, тож H₀ відхиляється на рівні 5 %.

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: 1 − β = 52,95 %

Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критичне вибіркове середнє

SE = 12/√64 = 1,5

x̄_c = 50 + 2,326·1,5 = 53,49

z при справжньому середньому

z = (53,49 − 53,6)/1,5 = −0,074

Потужність

потужність = P(Z > −0,074) = 52,95%

1 − β = 52,95%

Відповідь

1 − β = 52,95%

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = −0,9383

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 356 − 21·114/6 = −43

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 2286 − 114²/6 = 120

Коефіцієнт кореляції

r = −43/√(17,5·120) = −0,9383

Відповідь

r = −0,9383

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = −5,333

Середні

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 356/6 = 59,33

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 70

Лінія регресії

b = 70/17,5 = 4

a = 59,33 − 4·5,5 = 37,33

ŷ = 37,33 + 4·x

Прогнозоване значення

ŷ = 37,33 + 4·6,5 = 63,33

Залишок

e = 58 − 63,33 = −5,333

Відповідь

e = −5,333

Точка лежить нижче прямої.

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 3,571

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

денна зміна: 120·40/200 = 24, 120·90/200 = 54, 120·70/200 = 42

нічна зміна: 80·40/200 = 16, 80·90/200 = 36, 80·70/200 = 28

Статистика хі-квадрат

χ² = (28 − 24)²/24 + (48 − 54)²/54 + (44 − 42)²/42 + (12 − 16)²/16 + (42 − 36)²/36 + (26 − 28)²/28

χ² = 3,571

Відповідь

χ² = 3,571

df = 2. При α = 0,05 критичне значення 5,991, тож H₀ (незалежність) не відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ²_crit = 5,991

Ступені вільності

df = (2 − 1)·(3 − 1) = 2

Таблиця

χ²_crit(df = 2, α = 0,05) = 5,991

Відповідь

χ²_crit = 5,991

Відхиліть H₀, якщо обчислене χ² більше за це значення.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology