Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

У дизайні з повторними вимірюваннями ефекти порядку можна контролювати за допомогою:

AВипадкової вибірки
BКонтрбалансування
CЛише більшої вибірки
DПростого сліпого методу

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Дослідження виявило, що студенти, які більше сплять, мають вищі оцінки. Яка зміна дизайну найкраще дозволила б зробити причинний висновок?

AВипадково розподілити студентів за різними режимами сну
BТочніше вимірювати оцінки
CПопросити студентів двічі повідомити про сон і усереднити два звіти
DОпитати більше студентів

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 29, 31, 40, 31, 49.

n = 5

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 8. Яка частка P значень менша за 70?

μ = 60σ = 8x = 70

P =

5.ІмовірністьСередня

Правильний кубик кидають 3 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?

n = 3

P =

6.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = 0,5X + 1. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,15, 0,3, 0,3, 0,25Y = 0,5X + 1

σ_Y =

7.Нормальний розподілСередня

Маси ящики незалежні та нормальні із середнім 12 kg і середнім квадратичним відхиленням 0,8 kg. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 9 з них менша за 109,2 kg. Округліть z до двох знаків після коми.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 9< 109.2 kg

P =

8.Нормальний розподілСкладна

Нехай тривалості доставки розподілені нормально із середнім 32 min і стандартним відхиленням 6 min. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 99 % значень (99-й процентиль).

μ = 32σ = 6P = 99%

x = min

9.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 7 елементів має середнє 32 і стандартне відхилення s = 1,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 95 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 7x̄ = 32s = 1,595%t(6) = 2,447

нижня межа =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 19. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 1,5?

σ = 19E = 1,595%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Порівнюють два методи навчання. Група 1: 10 студентів, середній бал 118,5, стандартне відхилення 7,5. Група 2: 6 студентів, середній бал 129,1, стандартне відхилення 8,5. Вважайте дисперсії генеральних сукупностей рівними й використайте двовибірковий t-критерій з об’єднаною дисперсією. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (група 1 мінус група 2).

n₁ = 10x̄₁ = 118,5s₁ = 7,5n₂ = 6x̄₂ = 129,1s₂ = 8,5

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Якою має бути вибірка, щоб 95 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 1? Стандартне відхилення — 5. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.

σ = 5E = 195%

n =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 5

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 17.

n = 5x = 17

ŷ =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 2402 × 2

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій узгодженості хі-квадрат перевіряє, чи частоти в 9 категоріях відповідають розподілу Пуассона, середнє якого оцінено з тих самих даних. Скільки ступенів вільності df має критерій?

k = 9

df =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: B · Контрбалансування

Чому це відповідь

Контрбалансування рівномірно розподіляє ефекти тренування й втоми між умовами.

Відповідь

B · Контрбалансування

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Випадково розподілити студентів за різними режимами сну

Чому це відповідь

Лише маніпуляція сном із випадковим розподілом контролює треті змінні й дозволяє причинний висновок у межах етики.

Відповідь

A · Випадково розподілити студентів за різними режимами сну

3.Описова статистика

Відповідь: s = 8,426

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 180/5 = 36

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−7)² + (−5)² + 4² + (−5)² + 13² = 284

Стандартне відхилення

s = √(284/4) = 8,426

Відповідь

s = 8,426

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,8944

Стандартизуйте

z = 1,25

Таблиця нормального розподілу

Φ(1,25) = 0,8944

P = 0,8944

Відповідь

P = 0,8944

5.Імовірність

Відповідь: P = 0,4213

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Протилежна подія

P(немає шістки) = (5/6)³ = 0,5787

P = 1 − 0,5787 = 0,4213

Відповідь

P = 0,4213

6.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 0,5068

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Розкид X

μ = 1,65, Var(X) = 1,028, σ_X = 1,014

Лінійна зміна

σ_Y = |0,5|·1,014 = 0,5068

Відповідь

σ_Y = 0,5068

Середнє таки зсувається: E(Y) = 0,5·1,65 + 1 = 1,825.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,6915

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ_T = 108 kg, σ_T = 0,8·√9 = 2,4 kg

Стандартизуйте

z = (109,2 − 108)/2,4 = 0,5

Імовірність

P = Φ(0,5) = 0,6915

Відповідь

P = 0,6915

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 45,96 min

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Назад до x

x = 32 + 2,326·6 = 45,96 min

Відповідь

x = 45,96 min

9.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 30,61

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 6, t = 2,447

Похибка оцінки

E = 2,447·1,5/√7 = 1,387

Інтервал

32 ± 1,387 → [30,61, 33,39]

Відповідь

нижня межа = 30,61

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 617

Виразіть n

n = (1,96·19/1,5)² = 616,4

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 617

Відповідь

n = 617

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −2,608

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Об’єднана дисперсія

s_p² = (9·7,5² + 5·8,5²)/14 = 61,96

s_p = 7,872

Стандартна похибка

SE = 7,872·√(1/10 + 1/6) = 4,065

Статистика критерію

t = (118,5 − 129,1)/4,065 = −2,608

Відповідь

t = −2,608

При df = 14 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,145; |t| більше, тож H₀ відхиляється.

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 97

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Виразіть n

n = (1,96·5/1)² = 96,04

Округліть угору

n = 97

Відповідь

n = 97

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = −0,9707

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 116/5 = 23,2

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −21

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 46,8

Коефіцієнт кореляції

r = −21/√(10·46,8) = −0,9707

Відповідь

r = −0,9707

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 84,85

Середні

x̄ = 90/5 = 18

ȳ = 458/5 = 91,6

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 270

Лінія регресії

b = 270/40 = 6,75

a = 91,6 − 6,75·18 = −29,9

ŷ = −29,9 + 6,75·x

Прогноз

ŷ = −29,9 + 6,75·17 = 84,85

Відповідь

ŷ = 84,85

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 35,62

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

новий препарат: 120·132/240 = 66, 120·108/240 = 54

плацебо: 120·132/240 = 66, 120·108/240 = 54

Статистика хі-квадрат

χ² = (43 − 66)²/66 + (77 − 54)²/54 + (89 − 66)²/66 + (31 − 54)²/54

χ² = 35,62

Відповідь

χ² = 35,62

df = 1. При α = 0,05 критичне значення 3,841, тож H₀ (незалежність) відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: df = 7

Ступені вільності

df = 9 − 1 − 1 = 7

Відповідь

df = 7

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology