Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Надійність розщеплення навпіл передбачає:

AВикористання двох спостерігачів, кожен — на половині сесій
BПоділ вибірки на експериментальну й контрольну групи та порівняння їхніх балів
CТестування двох половин вибірки в різний час
DПорівняння балів за двома половинами того самого тесту для перевірки внутрішньої узгодженості

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Пацієнти, обрані через надзвичайно високі бали тривожності, показують нижчі бали під час другого тестування навіть без лікування. Яке пояснення найімовірніше?

AГоторнський ефект
BЕфект стелі
CКонтрбалансування
DРегресія до середнього

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 42, 23, 20, 54, 11, 60.

n = 6

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 12. Яка частка P значень більша за 64,8?

μ = 60σ = 12x = 64,8

P =

5.ІмовірністьСередня

Скількома способами N можна обрати комісію з 3 осіб із групи з 12 осіб? Порядок не має значення.

n = 12k = 3

N =

6.ІмовірністьСкладна

Тест має 5 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,25, незалежно. Яка ймовірність P рівно 2 правильних відповідей?

n = 5p = 0,25k = 2

P =

7.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,2586. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,2586

z =

8.Нормальний розподілСкладна

Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 10 % значень (10-й процентиль).

μ = 250σ = 5P = 10%

x = g

9.Довірчі інтервалиСередня

Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 100 телефонів, середнє 120 h, відоме стандартне відхилення 13 h. Модель 2: 40 телефонів, середнє 118 h, відоме стандартне відхилення 9 h. Знайдіть нижню межу 95 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 100x̄₁ = 120 hσ₁ = 13 hn₂ = 40x̄₂ = 118 hσ₂ = 9 h95%

нижня межа = h

10.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 26. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 1?

σ = 26E = 195%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 100; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 3. Випадкова вибірка з 36 спостережень має середнє 101,14. Перевірте H₀: μ = 100 проти H₁: μ ≠ 100. Знайдіть p-значення p.

μ₀ = 100σ = 3n = 36x̄ = 101,14H₁: μ ≠ μ₀

p =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 64 вимірювань має середнє 204,7. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 15. Знайдіть верхню межу U 99 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 204,7σ = 15n = 6499%

U =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 5Σx = 15Σy = 125Σx² = 55Σy² = 3159Σxy = 357

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 88?

n = 6ŷ = 88

x =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 1402 × 2

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Таблиця містить спостережувані частоти. Перевірте при α = 0,05, чи дві змінні незалежні (без поправки на неперервність). Обчисліть статистику критерію χ², а потім порівняйте її з критичним значенням з таблиці.

N = 2003 × 2α = 0,05

χ² =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: D · Порівняння балів за двома половинами того самого тесту для перевірки внутрішньої узгодженості

Чому це відповідь

Якщо обидві половини вимірюють той самий конструкт, бали за ними мають сильно корелювати. Альфа Кронбаха поширює цю ідею на всі можливі поділи.

Відповідь

D · Порівняння балів за двома половинами того самого тесту для перевірки внутрішньої узгодженості

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: D · Регресія до середнього

Чому це відповідь

Коли людей обирають за екстремальними балами, похибка вимірювання й випадковість зумовлюють те, що їхні пізніші бали здебільшого наближаються до середнього. Контрольні групи допомагають відокремити це від ефектів лікування.

Відповідь

D · Регресія до середнього

3.Описова статистика

Відповідь: s = 19,9

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 210/6 = 35

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 7² + (−12)² + (−15)² + 19² + (−24)² + 25² = 1980

Стандартне відхилення

s = √(1980/5) = 19,9

Відповідь

s = 19,9

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,3446

Стандартизуйте

z = 0,4

Таблиця нормального розподілу

Φ(0,4) = 0,6554

P = 1 − 0,6554 = 0,3446

Відповідь

P = 0,3446

5.Імовірність

Відповідь: N = 220

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Комбінації

C(12, 3) = (12·11·10)/(3·2·1) = 220

Відповідь

N = 220

6.Імовірність

Відповідь: P = 0,2637

Біноміальна формула

P(X = 2) = 10·0,25²·0,75³ = 10·0,0625·0,4219 = 0,2637

Відповідь

P = 0,2637

7.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 0,33

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = (1 + 0,2586)/2 = 0,6293

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,6293 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 0,33

Відповідь

z = 0,33

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 243,6 g

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Назад до x

x = 250 + −1,282·5 = 243,59 g

Відповідь

x = 243,59 g

9.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = −1,778 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точкова оцінка

x̄₁ − x̄₂ = 120 − 118 = 2

Стандартна похибка

SE = √(13²/100 + 9²/40) = 1,927

Похибка оцінки

E = 1,96·1,927 = 3,778

Інтервал

2 ± 3,778 → [−1,778, 5,778]

Відповідь

нижня межа = −1,778 h

Інтервал містить 0, тож дані не показують значущої різниці.

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 2597

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (1,96·26/1)² = 2597

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 2597

Відповідь

n = 2597

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: p = 0,02261

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерію

SE = σ/√n = 3/√36 = 0,5

z = (101,14 − 100)/0,5 = 2,28

Площа хвоста

Φ(2,28) = 0,9887

1 − Φ(2,28) = 0,0113

p-значення

p = 2·0,0113 = 0,02261

Відповідь

p = 0,02261

p ≤ 0,05, тож H₀ відхиляється на рівні 5 %.

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: U = 209,5

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Похибка оцінки

E = 2,576·15/√64 = 4,83

Межа інтервалу

U = 204,7 + 4,83 = 209,5

Відповідь

U = 209,5

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = −0,9762

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 357 − 15·125/5 = −18

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 3159 − 125²/5 = 34

Коефіцієнт кореляції

r = −18/√(10·34) = −0,9762

Відповідь

r = −0,9762

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 9,959

Середні

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 459/6 = 76,5

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 411

Лінія регресії

b = 411/70 = 5,871

a = 76,5 − 5,871·8 = 29,53

ŷ = 29,53 + 5,871·x

Розв’яжіть щодо x

x = (88 − 29,53)/5,871 = 9,959

Відповідь

x = 9,959

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 10,67

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

чоловіки: 100·42/140 = 30, 100·98/140 = 70

жінки: 40·42/140 = 12, 40·98/140 = 28

Статистика хі-квадрат

χ² = (38 − 30)²/30 + (62 − 70)²/70 + (4 − 12)²/12 + (36 − 28)²/28

χ² = 10,67

Відповідь

χ² = 10,67

df = 1. При α = 0,05 критичне значення 3,841, тож H₀ (незалежність) відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 12,87

Очікувані частоти

вік 18–30: 18, 42

вік 31–50: 30, 70

вік 51+: 12, 28

Статистика хі-квадрат

χ² = (22 − 18)²/18 + (38 − 42)²/42 + (19 − 30)²/30 + (81 − 70)²/70 + (19 − 12)²/12 + (21 − 28)²/28

χ² = 12,87

Рішення

df = 2, χ²_crit = 5,991

12,87 > 5,991

Відповідь

χ² = 12,87

χ² вище за критичне значення, тож H₀ відхиляється: змінні, схоже, пов’язані.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology