Описова статистика
- Середнє
- x̄ = Σx/n
- Вибіркове стандартне відхилення
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медіана
- серединне значення впорядкованих даних
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальний розподіл
- 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ
Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Імовірність
- Протилежна подія
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило додавання
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Незалежні події
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Умовна ймовірність
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Біноміальний розподіл
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальний розподіл
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Менше за x
- P(X < x) = Φ(z)
- Більше за x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Між
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
- Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
- Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
- Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.
Довірчі інтервали
- σ відоме
- x̄ ± z·σ/√n
- σ невідоме
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критичне значення z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Обсяг вибірки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
- Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
- Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
- Інтервал: x̄ ± E.
Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
- z-тест для середнього
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для середнього
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двобічний на рівні 5%
- відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
- Довірчий інтервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
- Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
- Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
- Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.
Лінійна регресія та кореляція
- Суми квадратів
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Нахил
- b = Sxy/Sxx
- Вільний член
- a = ȳ − b·x̄
- Кореляція
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Залишок
- e = y − ŷ
Критерії хі-квадрат
- Статистика критерію
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Узгодженість (goodness of fit)
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Незалежність
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Критичні значення (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Рішення
- відхилити H0, якщо χ² > χ²crit
2Задачі для практики
1.Методи досліджень у психологіїСередня
Надійність розщеплення навпіл передбачає:
- AТестування двох половин вибірки в різний час
- BПоділ вибірки на експериментальну й контрольну групи та порівняння їхніх балів
- CВикористання двох спостерігачів, кожен — на половині сесій
- DПорівняння балів за двома половинами того самого тесту для перевірки внутрішньої узгодженості
2.Методи досліджень у психологіїСкладна
Факторний ANOVA 2 × 3 показує, що препарат покращує пам'ять у молодих дорослих, але не в літніх. Що виявлено?
- AПомилку I роду
- BЛише головний ефект віку
- CВзаємодію препарату й віку
- DЕфект підлоги
3.Описова статистикаСередня
Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 10, 23, 48, 56, 10.
n = 5
s =
4.Описова статистикаСкладна
Величина розподілена нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 5. Яка частка P значень більша за 73?
μ = 70σ = 5x = 73
P =
5.ІмовірністьСередня
Скількома способами N можна обрати комісію з 5 осіб із групи з 10 осіб? Порядок не має значення.
n = 10k = 5
N =
6.ІмовірністьСкладна
Тестують 7 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,4. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?
n = 7p = 0,4
P =
7.Нормальний розподілСередня
Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Яка частка значень лежить між 53,5 і 85,5 балів? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 65σ = 10x1 = 53,5x2 = 85,5
P =
8.Нормальний розподілСкладна
Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 80 % значень (80-й процентиль).
μ = 250σ = 5P = 80%
x = g
9.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 12 елементів має середнє 63 і стандартне відхилення s = 12,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 12x̄ = 63s = 12,599%t(11) = 3,106
верхня межа =
10.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 28. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 5?
σ = 28E = 595%
n =
11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 80 деталей має середню довжину 107 mm, відоме стандартне відхилення лінії 10 mm. Лінія 2: вибірка з 40 деталей має середнє 100,6 mm, відоме стандартне відхилення 11 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).
n₁ = 80x̄₁ = 107 mmσ₁ = 10 mmn₂ = 40x̄₂ = 100,6 mmσ₂ = 11 mm
z =
12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Односторонній z-критерій для H₀: μ = 500 проти H₁: μ > 500 виконують на рівні α = 0,01 за вибіркою обсягом 25; стандартне відхилення відоме й дорівнює 5. Насправді середнє дорівнює 502,6. Знайдіть потужність 1 − β критерію у відсотках.
μ₀ = 500μ = 502,6σ = 5n = 25α = 0,01
1 − β = %
13.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.
n = 6Σx = 42Σy = 109Σx² = 364Σy² = 2417Σxy = 936
r =
14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (4,5, 15). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 6(4,5, 15)
e =
15.Критерії хі-квадратСередня
Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Для критерію незалежності хі-квадрат знайдіть очікувану частоту E для клітинки «працівники, велосипед».
сума рядка = 102сума стовпця = 40N = 179
E =
16.Критерії хі-квадратСкладна
Критерій узгодженості хі-квадрат порівнює спостережувані частоти в 4 категоріях з повністю заданими очікуваними частками (жодних параметрів з даних не оцінюють). Скільки ступенів вільності df має критерій?
k = 4
df =
3Розчини
1.Методи досліджень у психології
Відповідь: D · Порівняння балів за двома половинами того самого тесту для перевірки внутрішньої узгодженості
Чому це відповідь
Якщо обидві половини вимірюють той самий конструкт, бали за ними мають сильно корелювати. Альфа Кронбаха поширює цю ідею на всі можливі поділи.
Відповідь
D · Порівняння балів за двома половинами того самого тесту для перевірки внутрішньої узгодженості
2.Методи досліджень у психології
Відповідь: C · Взаємодію препарату й віку
Чому це відповідь
Взаємодія виникає, коли ефект одного чинника різниться на різних рівнях іншого. Тут ефект препарату залежить від вікової групи.
Відповідь
C · Взаємодію препарату й віку
3.Описова статистика
Відповідь: s = 21,49
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Середнє
x̄ = 147/5 = 29,4
Квадрати відхилень
Σ(x − x̄)² = (−19,4)² + (−6,4)² + 18,6² + 26,6² + (−19,4)² = 1847
Стандартне відхилення
s = √(1847/4) = 21,49
Відповідь
s = 21,49
4.Описова статистика
Відповідь: P = 0,2743
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = 0,6
Таблиця нормального розподілу
Φ(0,6) = 0,7257
P = 1 − 0,7257 = 0,2743
Відповідь
P = 0,2743
5.Імовірність
Відповідь: N = 252
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Комбінації
C(10, 5) = (10·9·8·7·6)/(5·4·3·2·1) = 252
Відповідь
N = 252
6.Імовірність
Відповідь: P = 0,1586
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Нуль і одна відмова
P(X = 0) = 0,67 = 0,02799
P(X = 1) = 7·0,4·0,66 = 0,1306
Додайте
P = 0,02799 + 0,1306 = 0,1586
Відповідь
P = 0,1586
7.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,8547
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z-оцінки
z₁ = (53,5 − 65)/10 = −1,15
z₂ = (85,5 − 65)/10 = 2,05
Площа між
P = Φ(2,05) − Φ(−1,15) = 0,9798 − 0,1251 = 0,8547
Відповідь
P = 0,8547
8.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 254,2 g
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416
Назад до x
x = 250 + 0,8416·5 = 254,21 g
Відповідь
x = 254,21 g
9.Довірчі інтервали
Відповідь: верхня межа = 74,21
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 11, t = 3,106
Похибка оцінки
E = 3,106·12,5/√12 = 11,21
Інтервал
63 ± 11,21 → [51,79, 74,21]
Відповідь
верхня межа = 74,21
10.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 121
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (1,96·28/5)² = 120,5
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 121
Відповідь
n = 121
11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: z = 3,095
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Стандартна похибка різниці
SE = √(10²/80 + 11²/40) = √4,275 = 2,068
Статистика критерію
z = (107 − 100,6)/2,068 = 3,095
Відповідь
z = 3,095
|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: 1 − β = 60,8 %
Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Критичне вибіркове середнє
SE = 5/√25 = 1
x̄c = 500 + 2,326·1 = 502,3
z при справжньому середньому
z = (502,3 − 502,6)/1 = −0,274
Потужність
потужність = P(Z > −0,274) = 60,8%
1 − β = 60,8%
Відповідь
1 − β = 60,8%
13.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9893
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 936 − 42·109/6 = 173
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 2417 − 109²/6 = 436,8
Коефіцієнт кореляції
r = 173/√(70·436,8) = 0,9893
Відповідь
r = 0,9893
14.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = −4,133
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 122/6 = 20,33
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −21
Лінія регресії
b = −21/17,5 = −1,2
a = 20,33 − (−1,2)·3,5 = 24,53
ŷ = 24,53 − 1,2·x
Прогнозоване значення
ŷ = 24,53 + (−1,2)·4,5 = 19,13
Залишок
e = 15 − 19,13 = −4,133
Відповідь
e = −4,133
Точка лежить нижче прямої.
15.Критерії хі-квадрат
Відповідь: E = 22,79
Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.
Очікувана частота
E = 102·40/179 = 22,79
Відповідь
E = 22,79
16.Критерії хі-квадрат
Відповідь: df = 3
Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.
Ступені вільності
df = 4 − 1 = 3
Відповідь
df = 3
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology