Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Стандартизовані інструкції використовують в експерименті, щоб:

AДослідник міг пристосовувати процедуру до потреб кожного учасника
BРезультати стали статистично значущими
CУчасники могли самі обирати умови
DУсі учасники отримували ту саму інформацію в той самий спосіб

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Дослідник маніпулює настроєм, показуючи сумний фільм, а потім просить учасників оцінити, наскільки сумно їм перед основним завданням. Навіщо включено цю оцінку?

AЩоб провести з учасниками дебрифінг щодо цілей
BЯк основну залежну змінну дослідження
CЩоб контрбалансувати порядок умов
DЯк перевірку маніпуляції, щоб підтвердити, що НЗ спрацювала як задумано

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 59, 20, 54, 19, 10, 14, 15.

n = 7

s =

4.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 75. Знайдіть z-оцінку z для результату 575.

μ = 500σ = 75x = 575

z =

5.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,1, 0,15, 0,15, 0,35, 0,25

σ =

6.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = 2X + 20. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,2, 0,25, 0,2Y = 2X + 20

σ_Y =

7.Нормальний розподілСередня

Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Яка частка значень лежить між 248,75 і 260 g? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 250σ = 5x₁ = 248,75x₂ = 260

P =

8.Нормальний розподілСкладна

Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 10 % значень (10-й процентиль).

μ = 65σ = 10P = 10%

x = балів

9.Довірчі інтервалиСередня

Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 30 телефонів, середнє 125 h, відоме стандартне відхилення 16 h. Модель 2: 40 телефонів, середнє 126 h, відоме стандартне відхилення 18 h. Знайдіть граничну похибку E 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 30x̄₁ = 125 hσ₁ = 16 hn₂ = 40x̄₂ = 126 hσ₂ = 18 h99%

E = h

10.Довірчі інтервалиСкладна

Діаметри 16 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 8,6 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: верхня межа σ. При df = 15 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 6,262 і 2,5 % — вище від 27,488.

n = 16s = 8,6 µmχ² = 6,262, 27,488

σ = µm

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 50 деталей має середню довжину 87,5 mm, відоме стандартне відхилення лінії 8 mm. Лінія 2: вибірка з 100 деталей має середнє 89,3 mm, відоме стандартне відхилення 19 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).

n₁ = 50x̄₁ = 87,5 mmσ₁ = 8 mmn₂ = 100x̄₂ = 89,3 mmσ₂ = 19 mm

z =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 49 вимірювань має середнє 56. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 15. Знайдіть нижню межу L 90 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 56σ = 15n = 4990%

L =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 5Σx = 30Σy = 355Σx² = 220Σy² = 25693Σxy = 2266

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 20?

n = 5ŷ = 20

x =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Для критерію незалежності хі-квадрат знайдіть очікувану частоту E для клітинки «нічна зміна, значний».

сума рядка = 81сума стовпця = 70N = 181

E =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Таблиця містить спостережувані частоти. Перевірте при α = 0,01, чи дві змінні незалежні (без поправки на неперервність). Обчисліть статистику критерію χ², а потім порівняйте її з критичним значенням з таблиці.

N = 2003 × 2α = 0,01

χ² =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: D · Усі учасники отримували ту саму інформацію в той самий спосіб

Чому це відповідь

Стандартизація усуває варіювання процедури як сторонню змінну й робить дослідження відтворюваним.

Відповідь

D · Усі учасники отримували ту саму інформацію в той самий спосіб

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: D · Як перевірку маніпуляції, щоб підтвердити, що НЗ спрацювала як задумано

Чому це відповідь

Перевірка маніпуляції підтверджує, що НЗ викликала задуманий психологічний стан. Без неї нульовий результат міг би означати, що маніпуляція не вдалася.

Відповідь

D · Як перевірку маніпуляції, щоб підтвердити, що НЗ спрацювала як задумано

3.Описова статистика

Відповідь: s = 20,28

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 191/7 = 27,29

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 31,71² + (−7,286)² + 26,71² + (−8,286)² + (−17,29)² + (−13,29)² + (−12,29)² = 2467

Стандартне відхилення

s = √(2467/6) = 20,28

Відповідь

s = 20,28

4.Описова статистика

Відповідь: z = 1

Стандартизуйте

z = (575 − 500)/75 = 1

Відповідь

z = 1

5.Імовірність

Відповідь: σ = 1,285

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,1 + 1·0,15 + 2·0,15 + 3·0,35 + 4·0,25 = 2,5

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,1 + 1·0,15 + 4·0,15 + 9·0,35 + 16·0,25 = 7,9

Дисперсія

Var(X) = 7,9 − 2,5² = 1,65

σ = √1,65 = 1,285

Відповідь

σ = 1,285

6.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 2,289

Розкид X

μ = 2,3, Var(X) = 1,31, σ_X = 1,145

Лінійна зміна

σ_Y = |2|·1,145 = 2,289

Відповідь

σ_Y = 2,289

Середнє таки зсувається: E(Y) = 2·2,3 + 20 = 24,6.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,576

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (248,75 − 250)/5 = −0,25

z₂ = (260 − 250)/5 = 2

Площа між

P = Φ(2) − Φ(−0,25) = 0,9772 − 0,4013 = 0,576

Відповідь

P = 0,576

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 52,18 балів

z для процентиля

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Назад до x

x = 65 + −1,282·10 = 52,18 балів

Відповідь

x = 52,18 балів

9.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 10,51 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точкова оцінка

x̄₁ − x̄₂ = 125 − 126 = −1

Стандартна похибка

SE = √(16²/30 + 18²/40) = 4,078

Похибка оцінки

E = 2,576·4,078 = 10,51

Відповідь

E = 10,51 h

Інтервал містить 0, тож дані не показують значущої різниці.

10.Довірчі інтервали

Відповідь: σ = 13,31 µm

Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.

Сума квадратів

(n − 1)s² = 15·8,6² = 1109

Межі для σ²

1109/27,488 = 40,36

1109/6,262 = 177,2

Межа для σ

σ = √177,2 = 13,31 µm

Відповідь

σ = 13,31 µm

95 % інтервал для σ: [6,353, 13,31] µm.

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = −0,814

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартна похибка різниці

SE = √(8²/50 + 19²/100) = √4,89 = 2,211

Статистика критерію

z = (87,5 − 89,3)/2,211 = −0,814

Відповідь

z = −0,814

|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: L = 52,48

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Похибка оцінки

E = 1,645·15/√49 = 3,525

Межа інтервалу

L = 56 − 3,525 = 52,48

Відповідь

L = 52,48

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9734

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 2266 − 30·355/5 = 136

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 25693 − 355²/5 = 488

Коефіцієнт кореляції

r = 136/√(40·488) = 0,9734

Відповідь

r = 0,9734

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 2,294

Середні

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 94/5 = 18,8

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −17

Лінія регресії

b = −17/10 = −1,7

a = 18,8 − (−1,7)·3 = 23,9

ŷ = 23,9 − 1,7·x

Розв’яжіть щодо x

x = (20 − 23,9)/(−1,7) = 2,294

Відповідь

x = 2,294

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: E = 31,33

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувана частота

E = 81·70/181 = 31,33

Відповідь

E = 31,33

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 8,819

Очікувані частоти

вік 18–30: 32, 48

вік 31–50: 24, 36

вік 51+: 24, 36

Статистика хі-квадрат

χ² = (22 − 32)²/32 + (58 − 48)²/48 + (28 − 24)²/24 + (32 − 36)²/36 + (30 − 24)²/24 + (30 − 36)²/36

χ² = 8,819

Рішення

df = 2, χ²_crit = 9,210

8,819 < 9,210

Відповідь

χ² = 8,819

χ² нижче за критичне значення, тож H₀ не відхиляється: значущих доказів зв’язку немає.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology