Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

У досконало нормальному розподілі:

AСереднє завжди більше за медіану
BБільшість балів лежить у хвостах
CМода — найнижчий бал
DСереднє, медіана й мода рівні

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Збільшення обсягу вибірки в дослідженні найбезпосередніше:

AГарантує статистично значущий результат, якщо будь-який ефект існує
BУсуває будь-яке зміщення вибірки
CЗбільшує розмір ефекту
DПідвищує статистичну потужність для виявлення справжнього ефекту

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 59, 55, 26, 10, 37, 47, 24.

n = 7

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 8. Яка частка P значень менша за 62?

μ = 70σ = 8x = 62

P =

5.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,3, 0,2, 0,2

σ =

6.ІмовірністьСкладна

Тестують 5 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,25. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?

n = 5p = 0,25

P =

7.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,0548. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,0548

z =

8.Нормальний розподілСкладна

Нехай тривалості доставки розподілені нормально із середнім 32 min і стандартним відхиленням 6 min. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 20 % значень (20-й процентиль).

μ = 32σ = 6P = 20%

x = min

9.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 10 елементів має середнє 80,5 і стандартне відхилення s = 2. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 10x̄ = 80,5s = 299%t(9) = 3,25

верхня межа =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 6 ділянок, середній урожай 17,5 kg, стандартне відхилення 2 kg. Група ділянок 2: 8 ділянок, середнє 27 kg, стандартне відхилення 7,5 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть граничну похибку E 95 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 6x̄₁ = 17,5s₁ = 2n₂ = 8x̄₂ = 27s₂ = 7,595%t(12) = 2,179

E = kg

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

7 працівників проходять тест на швидкість друку до й після навчального курсу. Для кожного записують різницю d = після − до (слів за хвилину). Середня різниця −13,15, стандартне відхилення різниць 11,6. Знайдіть статистику парного критерію t для H₀: μ_d = 0.

n = 7d̄ = −13,15s_d = 11,6

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 81 вимірювань має середнє 499,2. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 8. Знайдіть нижню межу L 99 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 499,2σ = 8n = 8199%

L =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 5Σx = 30Σy = 111Σx² = 220Σy² = 2881Σxy = 794

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 20?

n = 5ŷ = 20

x =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 2002 × 3

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій незалежності хі-квадрат застосовують до таблиці спряженості з 3 рядками й 3 стовпцями (без урахування підсумків). За таблицею знайдіть критичне значення χ²_crit при рівні значущості α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: D · Середнє, медіана й мода рівні

Чому це відповідь

Нормальний розподіл симетричний і дзвоноподібний, тож усі три міри центральної тенденції розташовані в центрі.

Відповідь

D · Середнє, медіана й мода рівні

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: D · Підвищує статистичну потужність для виявлення справжнього ефекту

Чому це відповідь

Більші вибірки зменшують стандартну похибку й підвищують потужність. Вони не змінюють справжнього розміру ефекту й не усувають систематичного зміщення.

Відповідь

D · Підвищує статистичну потужність для виявлення справжнього ефекту

3.Описова статистика

Відповідь: s = 17,92

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 258/7 = 36,86

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 22,14² + 18,14² + (−10,86)² + (−26,86)² + 0,1429² + 10,14² + (−12,86)² = 1927

Стандартне відхилення

s = √(1927/6) = 17,92

Відповідь

s = 17,92

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,1587

Стандартизуйте

z = −1

Таблиця нормального розподілу

Φ(−1) = 0,1587

P = 0,1587

Відповідь

P = 0,1587

5.Імовірність

Відповідь: σ = 1,1

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 1·0,3 + 2·0,3 + 3·0,2 + 4·0,2 = 2,3

Середнє квадратів

E(X²) = 1·0,3 + 4·0,3 + 9·0,2 + 16·0,2 = 6,5

Дисперсія

Var(X) = 6,5 − 2,3² = 1,21

σ = √1,21 = 1,1

Відповідь

σ = 1,1

6.Імовірність

Відповідь: P = 0,6328

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Нуль і одна відмова

P(X = 0) = 0,75⁵ = 0,2373

P(X = 1) = 5·0,25·0,75⁴ = 0,3955

Додайте

P = 0,2373 + 0,3955 = 0,6328

Відповідь

P = 0,6328

7.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 1,6

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = 1 − 0,0548 = 0,9452

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,9452 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 1,60

Відповідь

z = 1,60

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 26,95 min

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Назад до x

x = 32 + −0,8416·6 = 26,95 min

Відповідь

x = 26,95 min

9.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 82,56

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 9, t = 3,25

Похибка оцінки

E = 3,25·2/√10 = 2,055

Інтервал

80,5 ± 2,055 → [78,44, 82,56]

Відповідь

верхня межа = 82,56

10.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 6,91 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (5·2² + 7·7,5²)/12 = 34,48

s_p = 5,872

Похибка оцінки

E = 2,179·5,872·√(1/6 + 1/8) = 6,91

Відповідь

E = 6,91 kg

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −2,999

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Стандартна похибка середньої різниці

SE = 11,6/√7 = 4,384

Статистика критерію

t = −13,15/4,384 = −2,999

Відповідь

t = −2,999

При df = 6 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,447; |t| більше, тож H₀ відхиляється.

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: L = 496,9

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Похибка оцінки

E = 2,576·8/√81 = 2,29

Межа інтервалу

L = 499,2 − 2,29 = 496,9

Відповідь

L = 496,9

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9913

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 794 − 30·111/5 = 128

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 2881 − 111²/5 = 416,8

Коефіцієнт кореляції

r = 128/√(40·416,8) = 0,9913

Відповідь

r = 0,9913

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 4,667

Середні

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 120/5 = 24

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −24

Лінія регресії

b = −24/10 = −2,4

a = 24 − (−2,4)·3 = 31,2

ŷ = 31,2 − 2,4·x

Розв’яжіть щодо x

x = (20 − 31,2)/(−2,4) = 4,667

Відповідь

x = 4,667

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 7,802

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

денна зміна: 100·40/200 = 20, 100·90/200 = 45, 100·70/200 = 35

нічна зміна: 100·40/200 = 20, 100·90/200 = 45, 100·70/200 = 35

Статистика хі-квадрат

χ² = (27 − 20)²/20 + (37 − 45)²/45 + (36 − 35)²/35 + (13 − 20)²/20 + (53 − 45)²/45 + (34 − 35)²/35

χ² = 7,802

Відповідь

χ² = 7,802

df = 2. При α = 0,05 критичне значення 5,991, тож H₀ (незалежність) відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ²_crit = 9,488

Ступені вільності

df = (3 − 1)·(3 − 1) = 4

Таблиця

χ²_crit(df = 4, α = 0,05) = 9,488

Відповідь

χ²_crit = 9,488

Відхиліть H₀, якщо обчислене χ² більше за це значення.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology