Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Стандартизовані інструкції використовують в експерименті, щоб:

AРезультати стали статистично значущими
BДослідник міг пристосовувати процедуру до потреб кожного учасника
CУсі учасники отримували ту саму інформацію в той самий спосіб
DУчасники могли самі обирати умови

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Дослідження виявляє, що вплив стресу на захворюваність слабший у людей із сильною соціальною підтримкою. Соціальна підтримка виступає як:

AЗалежна змінна
BМодератор
CМедіатор
DЗмішувальна змінна

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 32, 20, 54, 46, 43, 22, 28.

n = 7

s =

4.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 10. Знайдіть z-оцінку z для результату 85.

μ = 70σ = 10x = 85

z =

5.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,05, 0,3, 0,25, 0,1, 0,3

σ =

6.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €2. Ви виграєте €4 з імовірністю 0,2 і €20 з імовірністю 0,02; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €2€4: p = 0,2€20: p = 0,02

E(G) = €

7.Нормальний розподілСередня

Маси болти незалежні та нормальні із середнім 40 g і середнім квадратичним відхиленням 1,2 g. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 10 з них перевищує 407,6 g. Округліть z до двох знаків після коми.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 10> 407,6 g

P =

8.Нормальний розподілСкладна

значення зросту дорослих чоловіків нормально розподілені із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 25% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 178 cmσ = 7 cm25%

x = cm

9.Довірчі інтервалиСередня

Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 100 телефонів, середнє 90,5 h, відоме стандартне відхилення 11 h. Модель 2: 30 телефонів, середнє 100 h, відоме стандартне відхилення 3 h. Знайдіть граничну похибку E 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 100x̄₁ = 90,5 hσ₁ = 11 hn₂ = 30x̄₂ = 100 hσ₂ = 3 h99%

E = h

10.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 7 ділянок, середній урожай 33,5 kg, стандартне відхилення 4,5 kg. Група ділянок 2: 19 ділянок, середнє 34 kg, стандартне відхилення 7 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 7x̄₁ = 33,5s₁ = 4,5n₂ = 19x̄₂ = 34s₂ = 799%t(24) = 2,797

нижня межа = kg

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 81 студентів має середній бал 202,8 і вибіркове стандартне відхилення 15. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 202,8s = 15n = 81

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Якою має бути вибірка, щоб 95 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 1? Стандартне відхилення — 4. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.

σ = 4E = 195%

n =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 6

r² =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (9, 13). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 6(9, 13)

e =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 1402 × 2

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Таблиця містить спостережувані частоти. Перевірте при α = 0,01, чи дві змінні незалежні (без поправки на неперервність). Обчисліть статистику критерію χ², а потім порівняйте її з критичним значенням з таблиці.

N = 2403 × 2α = 0,01

χ² =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: C · Усі учасники отримували ту саму інформацію в той самий спосіб

Чому це відповідь

Стандартизація усуває варіювання процедури як сторонню змінну й робить дослідження відтворюваним.

Відповідь

C · Усі учасники отримували ту саму інформацію в той самий спосіб

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: B · Модератор

Чому це відповідь

Модератор змінює силу чи напрям зв'язку між двома змінними. Медіатор пояснює механізм, через який одна змінна впливає на іншу.

Відповідь

B · Модератор

3.Описова статистика

Відповідь: s = 12,9

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 245/7 = 35

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−3)² + (−15)² + 19² + 11² + 8² + (−13)² + (−7)² = 998

Стандартне відхилення

s = √(998/6) = 12,9

Відповідь

s = 12,9

4.Описова статистика

Відповідь: z = 1,5

Стандартизуйте

z = (85 − 70)/10 = 1,5

Відповідь

z = 1,5

5.Імовірність

Відповідь: σ = 1,308

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 1·0,05 + 2·0,3 + 3·0,25 + 4·0,1 + 5·0,3 = 3,3

Середнє квадратів

E(X²) = 1·0,05 + 4·0,3 + 9·0,25 + 16·0,1 + 25·0,3 = 12,6

Дисперсія

Var(X) = 12,6 − 3,3² = 1,71

σ = √1,71 = 1,308

Відповідь

σ = 1,308

6.Імовірність

Відповідь: E(G) = −0,8 €

Чисті результати

G: 2 (p = 0,2), 18 (p = 0,02), −2 (p = 0,78)

Математичне сподівання

E(G) = 2·0,2 + 18·0,02 − 2·0,78 = −0,8 €

Відповідь

E(G) = −0,8 €

Від’ємне значення означає, що в середньому ви втрачаєте гроші.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,02275

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ_T = 400 g, σ_T = 1,2·√10 = 3,795 g

Стандартизуйте

z = (407,6 − 400)/3,795 = 2

Імовірність

P = 1 − Φ(2) = 0,02275

Відповідь

P = 0,02275

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 173,3 cm

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,25

z з таблиці

z ≈ −0,67

Назад до початкових одиниць

x = 178 − 0,67·7 = 173,3 cm

Відповідь

x = 173,3 cm

9.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 3,165 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точкова оцінка

x̄₁ − x̄₂ = 90,5 − 100 = −9,5

Стандартна похибка

SE = √(11²/100 + 3²/30) = 1,229

Похибка оцінки

E = 2,576·1,229 = 3,165

Відповідь

E = 3,165 h

Інтервал не містить 0, тож середні значуще відрізняються.

10.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = −8,497 kg

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (6·4,5² + 18·7²)/24 = 41,81

s_p = 6,466

Похибка оцінки

E = 2,797·6,466·√(1/7 + 1/19) = 7,997

Інтервал

−0,5 ± 7,997 → [−8,497, 7,497]

Відповідь

нижня межа = −8,497 kg

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 1,68

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 15/√81 = 15/9 = 1,667

Статистика критерію

t = (202,8 − 200)/1,667 = 1,68

Відповідь

t = 1,68

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 62

Виразіть n

n = (1,96·4/1)² = 61,47

Округліть угору

n = 62

Відповідь

n = 62

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,881

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 272/6 = 45,33

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 62

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 249,3

Коефіцієнт детермінації

r² = 62²/(17,5·249,3) = 0,881

Відповідь

r² = 0,881

Близько 88,1% варіації y пояснюється прямою.

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = −2,695

Середні

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 76/6 = 12,67

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 106

Лінія регресії

b = 106/70 = 1,514

a = 12,67 − 1,514·7 = 2,067

ŷ = 2,067 + 1,514·x

Прогнозоване значення

ŷ = 2,067 + 1,514·9 = 15,7

Залишок

e = 13 − 15,7 = −2,695

Відповідь

e = −2,695

Точка лежить нижче прямої.

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 60,17

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

новий препарат: 100·98/140 = 70, 100·42/140 = 30

плацебо: 40·98/140 = 28, 40·42/140 = 12

Статистика хі-квадрат

χ² = (89 − 70)²/70 + (11 − 30)²/30 + (9 − 28)²/28 + (31 − 12)²/12

χ² = 60,17

Відповідь

χ² = 60,17

df = 1. При α = 0,05 критичне значення 3,841, тож H₀ (незалежність) відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 6,153

Очікувані частоти

лінія 1: 24, 36

лінія 2: 40, 60

лінія 3: 32, 48

Статистика хі-квадрат

χ² = (32 − 24)²/24 + (28 − 36)²/36 + (34 − 40)²/40 + (66 − 60)²/60 + (30 − 32)²/32 + (50 − 48)²/48

χ² = 6,153

Рішення

df = 2, χ²_crit = 9,210

6,153 < 9,210

Відповідь

χ² = 6,153

χ² нижче за критичне значення, тож H₀ не відхиляється: значущих доказів зв’язку немає.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology