Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Експерти перевіряють, чи охоплюють завдання іспиту з математики всі теми навчальної програми. Це оцінює:

AПрогностичну валідність
BЗмістову валідність
CЕкологічну валідність
DРетестову надійність

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Фізичні вправи зменшують депресію, і цей ефект виникає тому, що вправи покращують сон, а він, своєю чергою, знижує депресію. Сон найкраще описати як:

AМедіатор
BСторонню змінну
CКонтрольовану змінну
DМодератор

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 18, 17, 59, 37, 11.

n = 5

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 50 і стандартним відхиленням 15. Яка частка P значень менша за 65?

μ = 50σ = 15x = 65

P =

5.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,2, 0,1, 0,3, 0,15

σ =

6.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €10. Ви виграєте €30 з імовірністю 0,15 і €100 з імовірністю 0,01; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €10€30: p = 0,15€100: p = 0,01

E(G) = €

7.Нормальний розподілСередня

Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Яка частка значень лежить між 60,5 і 70,5 балів? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 65σ = 10x₁ = 60,5x₂ = 70,5

P =

8.Нормальний розподілСкладна

значення зросту дорослих чоловіків нормально розподілені із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 15% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 178 cmσ = 7 cm15%

x = cm

9.Довірчі інтервалиСередня

95 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 50 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 5,3. Якою буде гранична похибка E₂ 90 % інтервалу за тими самими даними?

95%n₁ = 50E₁ = 5,390%

E₂ =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Діаметри 15 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 0,7 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: верхня межа σ. При df = 14 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 5,629 і 2,5 % — вище від 26,119.

n = 15s = 0,7 µmχ² = 5,629, 26,119

σ = µm

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Порівнюють два методи навчання. Група 1: 9 студентів, середній бал 106, стандартне відхилення 2. Група 2: 5 студентів, середній бал 107,1, стандартне відхилення 5. Вважайте дисперсії генеральних сукупностей рівними й використайте двовибірковий t-критерій з об’єднаною дисперсією. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (група 1 мінус група 2).

n₁ = 9x̄₁ = 106s₁ = 2n₂ = 5x̄₂ = 107,1s₂ = 5

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Якою має бути вибірка, щоб 90 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 1? Стандартне відхилення — 10. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.

σ = 10E = 190%

n =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 6Σx = 126Σy = 412Σx² = 2716Σy² = 29420Σxy = 8920

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (6,5, 52). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 6(6,5, 52)

e =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Для критерію незалежності хі-квадрат знайдіть очікувану частоту E для клітинки «студенти, велосипед».

сума рядка = 55сума стовпця = 28N = 120

E =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій узгодженості хі-квадрат перевіряє, чи частоти в 4 категоріях відповідають розподілу Пуассона, середнє якого оцінено з тих самих даних. За таблицею знайдіть критичне значення χ²_crit при рівні значущості α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: B · Змістову валідність

Чому це відповідь

Змістова валідність — це міра, в якій інструмент охоплює всі значущі аспекти конструкту; зазвичай її оцінюють експерти.

Відповідь

B · Змістову валідність

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Медіатор

Чому це відповідь

Медіатор лежить на причинному шляху між предиктором і результатом, пояснюючи, як або чому виникає ефект.

Відповідь

A · Медіатор

3.Описова статистика

Відповідь: s = 19,69

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 142/5 = 28,4

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−10,4)² + (−11,4)² + 30,6² + 8,6² + (−17,4)² = 1551

Стандартне відхилення

s = √(1551/4) = 19,69

Відповідь

s = 19,69

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,8413

Стандартизуйте

z = 1

Таблиця нормального розподілу

Φ(1) = 0,8413

P = 0,8413

Відповідь

P = 0,8413

5.Імовірність

Відповідь: σ = 1,446

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,25 + 1·0,2 + 2·0,1 + 3·0,3 + 4·0,15 = 1,9

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,2 + 4·0,1 + 9·0,3 + 16·0,15 = 5,7

Дисперсія

Var(X) = 5,7 − 1,9² = 2,09

σ = √2,09 = 1,446

Відповідь

σ = 1,446

6.Імовірність

Відповідь: E(G) = −4,5 €

Чисті результати

G: 20 (p = 0,15), 90 (p = 0,01), −10 (p = 0,84)

Математичне сподівання

E(G) = 20·0,15 + 90·0,01 − 10·0,84 = −4,5 €

Відповідь

E(G) = −4,5 €

Від’ємне значення означає, що в середньому ви втрачаєте гроші.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,3825

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (60,5 − 65)/10 = −0,45

z₂ = (70,5 − 65)/10 = 0,55

Площа між

P = Φ(0,55) − Φ(−0,45) = 0,7088 − 0,3264 = 0,3825

Відповідь

P = 0,3825

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 170,7 cm

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,15

z з таблиці

z ≈ −1,04

Назад до початкових одиниць

x = 178 − 1,04·7 = 170,7 cm

Відповідь

x = 170,7 cm

9.Довірчі інтервали

Відповідь: E₂ = 4,448

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Відношення похибок

E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(50/50) = 0,8393

Нова похибка

E₂ = 5,3·0,8393 = 4,448

Відповідь

E₂ = 4,448

10.Довірчі інтервали

Відповідь: σ = 1,104 µm

Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.

Сума квадратів

(n − 1)s² = 14·0,7² = 6,86

Межі для σ²

6,86/26,119 = 0,2626

6,86/5,629 = 1,219

Межа для σ

σ = √1,219 = 1,104 µm

Відповідь

σ = 1,104 µm

95 % інтервал для σ: [0,5125, 1,104] µm.

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −0,5946

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Об’єднана дисперсія

s_p² = (8·2² + 4·5²)/12 = 11

s_p = 3,317

Стандартна похибка

SE = 3,317·√(1/9 + 1/5) = 1,85

Статистика критерію

t = (106 − 107,1)/1,85 = −0,5946

Відповідь

t = −0,5946

При df = 12 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,179; |t| менше, тож H₀ не відхиляється.

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 271

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Виразіть n

n = (1,645·10/1)² = 270,6

Округліть угору

n = 271

Відповідь

n = 271

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9532

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 8920 − 126·412/6 = 268

S_xx = 2716 − 126²/6 = 70

S_yy = 29420 − 412²/6 = 1129

Коефіцієнт кореляції

r = 268/√(70·1129) = 0,9532

Відповідь

r = 0,9532

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = −3,5

Середні

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 315/6 = 52,5

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 52,5

Лінія регресії

b = 52,5/17,5 = 3

a = 52,5 − 3·5,5 = 36

ŷ = 36 + 3·x

Прогнозоване значення

ŷ = 36 + 3·6,5 = 55,5

Залишок

e = 52 − 55,5 = −3,5

Відповідь

e = −3,5

Точка лежить нижче прямої.

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: E = 12,83

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувана частота

E = 55·28/120 = 12,83

Відповідь

E = 12,83

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ²_crit = 5,991

Ступені вільності

df = 4 − 1 − 1 = 2

Таблиця

χ²_crit(df = 2, α = 0,05) = 5,991

Відповідь

χ²_crit = 5,991

Відхиліть H₀, якщо обчислене χ² більше за це значення.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology