Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

У контент-аналізі надійність між оцінювачами перевіряють так:

AМатеріал кодують двічі за один день
BДвоє дослідників кодують той самий матеріал, і результати порівнюють
CЗапитують учасників згодом, чи правильне кодування їхнього матеріалу дослідником
DВикористовують більшу вибірку матеріалів

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Який непараметричний тест порівнює дві пов'язані вибірки, як-от бали «до» і «після» за порядковою шкалою?

AU-тест Манна — Вітні
BТест хі-квадрат на незалежність
CЗнаково-ранговий тест Вілкоксона
Dt-тест для незалежних вибірок

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 41, 52, 39, 14, 34, 42.

n = 6

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 10. Яка частка P значень більша за 165?

μ = 170σ = 10x = 165

P =

5.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,3, 0,1, 0,1, 0,3, 0,2

Var(X) =

6.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = −2X + 1. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,15, 0,2, 0,35, 0,15, 0,15Y = −2X + 1

σ_Y =

7.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,7737. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,7737

z =

8.Нормальний розподілСкладна

строки служби батарейок нормально розподілені із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 60% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 500 hσ = 40 h60%

x = h

9.Довірчі інтервалиСередня

95 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 64 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 10,3. Якою буде гранична похибка E₂ 99 % інтервалу за тими самими даними?

95%n₁ = 64E₁ = 10,399%

E₂ =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 12 ділянок, середній урожай 62 kg, стандартне відхилення 1 kg. Група ділянок 2: 5 ділянок, середнє 63 kg, стандартне відхилення 9,5 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть верхню межу 95 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 12x̄₁ = 62s₁ = 1n₂ = 5x̄₂ = 63s₂ = 9,595%t(15) = 2,131

верхня межа = kg

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 81 студентів має середній бал 99 і вибіркове стандартне відхилення 5. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 99s = 5n = 81

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 49 вимірювань має середнє 74,3. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 4. Знайдіть верхню межу U 99 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 74,3σ = 4n = 4999%

U =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 6

r² =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (9, 100). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 5(9, 100)

e =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Для критерію незалежності хі-квадрат знайдіть очікувану частоту E для клітинки «нічна зміна, незначний».

сума рядка = 87сума стовпця = 32N = 137

E =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій незалежності хі-квадрат застосовують до таблиці спряженості з 2 рядками й 3 стовпцями (без урахування підсумків). За таблицею знайдіть критичне значення χ²_crit при рівні значущості α = 0,01.

α = 0,01

χ²_crit =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: B · Двоє дослідників кодують той самий матеріал, і результати порівнюють

Чому це відповідь

Якщо незалежні кодувальники присвоюють тим самим даним подібні коди (висока узгодженість чи кореляція), схема кодування надійна.

Відповідь

B · Двоє дослідників кодують той самий матеріал, і результати порівнюють

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: C · Знаково-ранговий тест Вілкоксона

Чому це відповідь

Тест Вілкоксона призначений для парних порядкових даних; U-тест Манна — Вітні — його відповідник для незалежних груп.

Відповідь

C · Знаково-ранговий тест Вілкоксона

3.Описова статистика

Відповідь: s = 12,71

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 222/6 = 37

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 4² + 15² + 2² + (−23)² + (−3)² + 5² = 808

Стандартне відхилення

s = √(808/5) = 12,71

Відповідь

s = 12,71

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,6915

Стандартизуйте

z = −0,5

Таблиця нормального розподілу

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 1 − 0,3085 = 0,6915

Відповідь

P = 0,6915

5.Імовірність

Відповідь: Var(X) = 2,4

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 1·0,3 + 2·0,1 + 3·0,1 + 4·0,3 + 5·0,2 = 3

Середнє квадратів

E(X²) = 1·0,3 + 4·0,1 + 9·0,1 + 16·0,3 + 25·0,2 = 11,4

Дисперсія

Var(X) = 11,4 − 3² = 2,4

Відповідь

Var(X) = 2,4

6.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 2,488

Розкид X

μ = 2,95, Var(X) = 1,548, σ_X = 1,244

Лінійна зміна

σ_Y = |−2|·1,244 = 2,488

Відповідь

σ_Y = 2,488

Середнє таки зсувається: E(Y) = −2·2,95 + 1 = −4,9.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 1,21

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = (1 + 0,7737)/2 = 0,8869

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,8869 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 1,21

Відповідь

z = 1,21

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 490 h

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,4

z з таблиці

z ≈ −0,25

Назад до початкових одиниць

x = 500 − 0,25·40 = 490 h

Відповідь

x = 490 h

9.Довірчі інтервали

Відповідь: E₂ = 13,54

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Відношення похибок

E₂/E₁ = (2,576/1,96)·√(64/64) = 1,314

Нова похибка

E₂ = 10,3·1,314 = 13,54

Відповідь

E₂ = 13,54

10.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 4,649 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (11·1² + 4·9,5²)/15 = 24,8

s_p = 4,98

Похибка оцінки

E = 2,131·4,98·√(1/12 + 1/5) = 5,649

Інтервал

−1 ± 5,649 → [−6,649, 4,649]

Відповідь

верхня межа = 4,649 kg

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −1,8

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 5/√81 = 5/9 = 0,5556

Статистика критерію

t = (99 − 100)/0,5556 = −1,8

Відповідь

t = −1,8

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: U = 75,77

Похибка оцінки

E = 2,576·4/√49 = 1,472

Межа інтервалу

U = 74,3 + 1,472 = 75,77

Відповідь

U = 75,77

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9566

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 117/6 = 19,5

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −57,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 197,5

Коефіцієнт детермінації

r² = −57,5²/(17,5·197,5) = 0,9566

Відповідь

r² = 0,9566

Близько 95,66% варіації y пояснюється прямою.

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = −4,15

Середні

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 418/5 = 83,6

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 274

Лінія регресії

b = 274/40 = 6,85

a = 83,6 − 6,85·6 = 42,5

ŷ = 42,5 + 6,85·x

Прогнозоване значення

ŷ = 42,5 + 6,85·9 = 104,2

Залишок

e = 100 − 104,2 = −4,15

Відповідь

e = −4,15

Точка лежить нижче прямої.

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: E = 20,32

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувана частота

E = 87·32/137 = 20,32

Відповідь

E = 20,32

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ²_crit = 9,21

Ступені вільності

df = (2 − 1)·(3 − 1) = 2

Таблиця

χ²_crit(df = 2, α = 0,01) = 9,210

Відповідь

χ²_crit = 9,210

Відхиліть H₀, якщо обчислене χ² більше за це значення.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology