Описова статистика
- Середнє
- x̄ = Σx/n
- Вибіркове стандартне відхилення
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медіана
- серединне значення впорядкованих даних
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальний розподіл
- 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ
Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Імовірність
- Протилежна подія
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило додавання
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Незалежні події
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Умовна ймовірність
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Біноміальний розподіл
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальний розподіл
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Менше за x
- P(X < x) = Φ(z)
- Більше за x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Між
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
- Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
- Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
- Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.
Довірчі інтервали
- σ відоме
- x̄ ± z·σ/√n
- σ невідоме
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критичне значення z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Обсяг вибірки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
- Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
- Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
- Інтервал: x̄ ± E.
Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
- z-тест для середнього
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для середнього
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двобічний на рівні 5%
- відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
- Довірчий інтервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
- Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
- Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
- Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.
Лінійна регресія та кореляція
- Суми квадратів
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Нахил
- b = Sxy/Sxx
- Вільний член
- a = ȳ − b·x̄
- Кореляція
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Залишок
- e = y − ŷ
Критерії хі-квадрат
- Статистика критерію
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Узгодженість (goodness of fit)
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Незалежність
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Критичні значення (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Рішення
- відхилити H0, якщо χ² > χ²crit
2Задачі для практики
1.Методи досліджень у психологіїСередня
Новий опитувальник депресії прогнозує, які студенти звернуться по лікування впродовж наступного року. Це підтверджує який тип валідності?
- AЗмістову валідність
- BПрогностичну валідність
- CОчевидну (face) валідність
- DПоточну (concurrent) валідність
2.Методи досліджень у психологіїСкладна
Дослідження показує, що опитувальник сильно корелює з визнаним тестом того самого конструкту. Це підтверджує:
- AЕкологічну валідність
- BРетестову надійність
- CОчевидну (фасадну) валідність
- DКонкурентну (одночасну) валідність
3.Описова статистикаСередня
Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 14, 52, 47, 22, 13, 36.
n = 6
s =
4.Описова статистикаСкладна
Величина розподілена нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 5. Яка частка P значень більша за 56?
μ = 60σ = 5x = 56
P =
5.ІмовірністьСередня
Правильний кубик кидають 6 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?
n = 6
P =
6.ІмовірністьСкладна
X має показаний розподіл, а Y = 5X + 20. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σY величини Y.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,05, 0,3, 0,3, 0,35Y = 5X + 20
σY =
7.Нормальний розподілСередня
Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Яка частка значень лежить між 77,5 і 122,5 балів? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 100σ = 15x1 = 77,5x2 = 122,5
P =
8.Нормальний розподілСкладна
Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 90 % значень (90-й процентиль).
μ = 250σ = 5P = 90%
x = g
9.Довірчі інтервалиСередня
95 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 100 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 6,2. Якою буде гранична похибка E₂ 90 % інтервалу за тими самими даними?
95%n₁ = 100E₁ = 6,290%
E₂ =
10.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 35. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 2,5?
σ = 35E = 2,595%
n =
11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Порівнюють два методи навчання. Група 1: 5 студентів, середній бал 36, стандартне відхилення 9,5. Група 2: 11 студентів, середній бал 25,7, стандартне відхилення 5. Вважайте дисперсії генеральних сукупностей рівними й використайте двовибірковий t-критерій з об’єднаною дисперсією. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (група 1 мінус група 2).
n₁ = 5x̄₁ = 36s₁ = 9,5n₂ = 11x̄₂ = 25,7s₂ = 5
t =
12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Вибірка з 49 вимірювань має середнє 46,8. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 15. Знайдіть верхню межу U 90 % довірчого інтервалу для середнього.
x̄ = 46,8σ = 15n = 4990%
U =
13.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.
n = 5Σx = 20Σy = 272Σx² = 90Σy² = 14830Σxy = 1099
r =
14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 3,5.
n = 5x = 3,5
ŷ =
15.Критерії хі-квадратСередня
Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Для критерію незалежності хі-квадрат знайдіть очікувану частоту E для клітинки «нічна зміна, значний».
сума рядка = 109сума стовпця = 53N = 190
E =
16.Критерії хі-квадратСкладна
Критерій узгодженості хі-квадрат перевіряє, чи частоти в 6 категоріях відповідають розподілу Пуассона, середнє якого оцінено з тих самих даних. Скільки ступенів вільності df має критерій?
k = 6
df =
3Розчини
1.Методи досліджень у психології
Відповідь: B · Прогностичну валідність
Чому це відповідь
Прогностичну валідність показано, коли бали прогнозують пізніший критерій. Поточна валідність використовує критерій, виміряний одночасно.
Відповідь
B · Прогностичну валідність
2.Методи досліджень у психології
Відповідь: D · Конкурентну (одночасну) валідність
Чому це відповідь
Конкурентну валідність показують, коли нова методика узгоджується з визнаною, проведеною приблизно в той самий час.
Відповідь
D · Конкурентну (одночасну) валідність
3.Описова статистика
Відповідь: s = 16,82
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Середнє
x̄ = 184/6 = 30,67
Квадрати відхилень
Σ(x − x̄)² = (−16,67)² + 21,33² + 16,33² + (−8,667)² + (−17,67)² + 5,333² = 1415
Стандартне відхилення
s = √(1415/5) = 16,82
Відповідь
s = 16,82
4.Описова статистика
Відповідь: P = 0,7881
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = −0,8
Таблиця нормального розподілу
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 1 − 0,2119 = 0,7881
Відповідь
P = 0,7881
5.Імовірність
Відповідь: P = 0,6651
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Протилежна подія
P(немає шістки) = (5/6)6 = 0,3349
P = 1 − 0,3349 = 0,6651
Відповідь
P = 0,6651
6.Імовірність
Відповідь: σY = 4,603
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Розкид X
μ = 1,95, Var(X) = 0,8475, σX = 0,9206
Лінійна зміна
σY = |5|·0,9206 = 4,603
Відповідь
σY = 4,603
Середнє таки зсувається: E(Y) = 5·1,95 + 20 = 29,75.
7.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,8664
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z-оцінки
z₁ = (77,5 − 100)/15 = −1,5
z₂ = (122,5 − 100)/15 = 1,5
Площа між
P = Φ(1,5) − Φ(−1,5) = 0,9332 − 0,06681 = 0,8664
Відповідь
P = 0,8664
8.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 256,4 g
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,9 → z = 1,282
Назад до x
x = 250 + 1,282·5 = 256,41 g
Відповідь
x = 256,41 g
9.Довірчі інтервали
Відповідь: E₂ = 5,204
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Відношення похибок
E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(100/100) = 0,8393
Нова похибка
E₂ = 6,2·0,8393 = 5,204
Відповідь
E₂ = 5,204
10.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 753
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (1,96·35/2,5)² = 753
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 753
Відповідь
n = 753
11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = 2,891
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Об’єднана дисперсія
sp² = (4·9,5² + 10·5²)/14 = 43,64
sp = 6,606
Стандартна похибка
SE = 6,606·√(1/5 + 1/11) = 3,563
Статистика критерію
t = (36 − 25,7)/3,563 = 2,891
Відповідь
t = 2,891
При df = 14 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,145; |t| більше, тож H₀ відхиляється.
12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: U = 50,32
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Похибка оцінки
E = 1,645·15/√49 = 3,525
Межа інтервалу
U = 46,8 + 3,525 = 50,32
Відповідь
U = 50,32
13.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,6037
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 1099 − 20·272/5 = 11
Sxx = 90 − 20²/5 = 10
Syy = 14830 − 272²/5 = 33,2
Коефіцієнт кореляції
r = 11/√(10·33,2) = 0,6037
Відповідь
r = 0,6037
14.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: ŷ = 60,45
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 317/5 = 63,4
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 59
Лінія регресії
b = 59/10 = 5,9
a = 63,4 − 5,9·4 = 39,8
ŷ = 39,8 + 5,9·x
Прогноз
ŷ = 39,8 + 5,9·3,5 = 60,45
Відповідь
ŷ = 60,45
15.Критерії хі-квадрат
Відповідь: E = 30,41
Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.
Очікувана частота
E = 109·53/190 = 30,41
Відповідь
E = 30,41
16.Критерії хі-квадрат
Відповідь: df = 4
Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.
Ступені вільності
df = 6 − 1 − 1 = 4
Відповідь
df = 4
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology