Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє
x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана
серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл
68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія
P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Менше за x
P(X < x) = Φ(z)
Більше за x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
  2. Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
  3. Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
  4. Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме
x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
  2. Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
  3. Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
  4. Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для середнього
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%
відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
  2. Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
  3. Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
  4. Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил
b = Sxy/Sxx
Вільний член
a = ȳ − b·x̄
Кореляція
r = Sxy/√(SxxSyy)
Залишок
e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію
χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit)
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення
відхилити H0, якщо χ² > χ²crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Дослідник порівнює агресивність дітей до і після появи телебачення у віддаленому містечку. Дослідник не контролював появи телебачення. Це:

  1. AЛабораторний експеримент
  2. BПольовий експеримент
  3. CКореляційне опитування щодо перегляду телебачення
  4. DПриродний експеримент
2.Методи досліджень у психологіїСкладна

У якісному дослідженні рефлексивність означає, що дослідник:

  1. AОсмислює, як його власне походження та припущення можуть формувати аналіз
  2. BПовторює дослідження, щоб перевірити надійність
  3. CВикористовує випадкову вибірку, щоб усунути упередження
  4. DПеретворює теми на числові дані
3.Описова статистикаСередня
253035404550

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 44, 24, 51, 47, 49, 33.

n = 6
s =
4.Описова статистикаСкладна
z −2−1012

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 8. Знайдіть z-оцінку z для результату 186.

μ = 170σ = 8x = 186
z =
5.ІмовірністьСередня
xp(x)00,320,2540,2560,2μ = 2,7

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,25, 0,25, 0,2
σ =
6.ІмовірністьСкладна
xp(x)00,310,3520,35μ

X має показаний розподіл, а Y = −2X + 20. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σY величини Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35Y = −2X + 20
σY =
7.Нормальний розподілСередня
244259,25P = ?

Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Яка частка значень лежить між 244 і 259,25 g? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 250σ = 5x1 = 244x2 = 259,25
P =
8.Нормальний розподілСкладна
0,05 mm0D − d?

Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,05 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,02 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,01 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.

отвір: μ = 25,05 mm, σ = 0,02 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
9.Довірчі інтервалиСередня
n = 15, s = 17LU = ?x̄ = 81E99%

Вибірка з 15 елементів має середнє 81 і стандартне відхилення s = 17. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 15x̄ = 81s = 1799%t(14) = 2,977
верхня межа =
10.Довірчі інтервалиСкладна
σ = 3, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 195%

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 3. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 1?

σ = 3E = 195%
n =
11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
−1,361,36p = ?

Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 100; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 12. Випадкова вибірка з 144 спостережень має середнє 98,64. Перевірте H₀: μ = 100 проти H₁: μ ≠ 100. Знайдіть p-значення p.

μ₀ = 100σ = 12n = 144x̄ = 98,64H₁: μ ≠ μ₀
p =
12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
σ = 8, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 0,599%

Якою має бути вибірка, щоб 99 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 0,5? Стандартне відхилення — 8. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.

σ = 8E = 0,599%
n =
13.Лінійна регресія та кореляціяСередня
xy12422431741751469xy24610152025

Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 6
r =
14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
xy126224321421519614xy246152025ŷ = 25

Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 25?

n = 6ŷ = 25
x =
15.Критерії хі-квадратСередня
без дефектунезначнийзначнийРазомденна зміна134047100нічна зміна23144380Разом365490180

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 1802 × 3
χ² =
16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій узгодженості хі-квадрат перевіряє, чи частоти в 8 категоріях відповідають розподілу Пуассона, середнє якого оцінено з тих самих даних. Скільки ступенів вільності df має критерій?

k = 8
df =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: D · Природний експеримент

Чому це відповідь

У природному експерименті НЗ змінюється через події поза контролем дослідника. Екологічна валідність висока, але випадковий розподіл неможливий.

Відповідь

D · Природний експеримент
2.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Осмислює, як його власне походження та припущення можуть формувати аналіз

Чому це відповідь

Рефлексивність визнає вплив дослідника на збирання та інтерпретацію даних і є ключовим критерієм якості в якісних дослідженнях.

Відповідь

A · Осмислює, як його власне походження та припущення можуть формувати аналіз
3.Описова статистика

Відповідь: s = 10,6

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 248/6 = 41,33

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 2,667² + (−17,33)² + 9,667² + 5,667² + 7,667² + (−8,333)² = 561,3

Стандартне відхилення

s = √(561,3/5) = 10,6

Відповідь

s = 10,6
4.Описова статистика

Відповідь: z = 2

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Стандартизуйте

z = (186 − 170)/8 = 2

Відповідь

z = 2
5.Імовірність

Відповідь: σ = 2,216

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,3 + 2·0,25 + 4·0,25 + 6·0,2 = 2,7

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,3 + 4·0,25 + 16·0,25 + 36·0,2 = 12,2

Дисперсія

Var(X) = 12,2 − 2,7² = 4,91
σ = √4,91 = 2,216

Відповідь

σ = 2,216
6.Імовірність

Відповідь: σY = 1,609

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.

Розкид X

μ = 1,05, Var(X) = 0,6475, σX = 0,8047

Лінійна зміна

σY = |−2|·0,8047 = 1,609

Відповідь

σY = 1,609

Середнє таки зсувається: E(Y) = −2·1,05 + 20 = 17,9.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,8528

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (244 − 250)/5 = −1,2
z₂ = (259,25 − 250)/5 = 1,85

Площа між

P = Φ(1,85) − Φ(−1,2) = 0,9678 − 0,1151 = 0,8528

Відповідь

P = 0,8528
8.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9875

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл різниці

μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,02236 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,05)/0,02236 = −2,24

Імовірність

P = 1 − Φ(−2,24) = 0,9875

Відповідь

P = 0,9875
9.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 94,07

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 14, t = 2,977

Похибка оцінки

E = 2,977·17/√15 = 13,07

Інтервал

81 ± 13,07 → [67,93, 94,07]

Відповідь

верхня межа = 94,07
10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 35

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (1,96·3/1)² = 34,57

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 35

Відповідь

n = 35
11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: p = 0,1738

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерію

SE = σ/√n = 12/√144 = 1
z = (98,64 − 100)/1 = −1,36

Площа хвоста

Φ(1,36) = 0,9131
1 − Φ(1,36) = 0,0869

p-значення

p = 2·0,0869 = 0,1738

Відповідь

p = 0,1738

p > 0,05, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 %.

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 1699

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Виразіть n

n = (2,576·8/0,5)² = 1699

Округліть угору

n = 1699

Відповідь

n = 1699
13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = −0,964

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 105/6 = 17,5

Суми квадратів і добутків

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −52,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 169,5

Коефіцієнт кореляції

r = −52,5/√(17,5·169,5) = −0,964

Відповідь

r = −0,964
14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 1,556

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 125/6 = 20,83

Суми квадратів і добутків

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −37,5

Лінія регресії

b = −37,5/17,5 = −2,143
a = 20,83 − (−2,143)·3,5 = 28,33
ŷ = 28,33 − 2,143·x

Розв’яжіть щодо x

x = (25 − 28,33)/(−2,143) = 1,556

Відповідь

x = 1,556
15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 13,42

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

денна зміна: 100·36/180 = 20, 100·54/180 = 30, 100·90/180 = 50
нічна зміна: 80·36/180 = 16, 80·54/180 = 24, 80·90/180 = 40

Статистика хі-квадрат

χ² = (13 − 20)²/20 + (40 − 30)²/30 + (47 − 50)²/50 + (23 − 16)²/16 + (14 − 24)²/24 + (43 − 40)²/40
χ² = 13,42

Відповідь

χ² = 13,42

df = 2. При α = 0,05 критичне значення 5,991, тож H₀ (незалежність) відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: df = 6

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Ступені вільності

df = 8 − 1 − 1 = 6

Відповідь

df = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology