Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Значення p = 0,03 означає:

AЕфект великий
BЯкби нульова гіпотеза була правдивою, такі екстремальні дані траплялися б приблизно в 3% випадків
CРезультат відтвориться в 97% випадків
DЗ огляду на спостережувані дані, нульова гіпотеза правдива лише з імовірністю 3%

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Який непараметричний тест порівнює дві пов'язані вибірки, як-от бали «до» і «після» за порядковою шкалою?

AЗнаково-ранговий тест Вілкоксона
BТест хі-квадрат на незалежність
CU-тест Манна — Вітні
Dt-тест для незалежних вибірок

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 46, 39, 45, 28, 32.

n = 5

s =

4.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 50 і стандартним відхиленням 8. Знайдіть z-оцінку z для результату 43,6.

μ = 50σ = 8x = 43,6

z =

5.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,1, 0,25, 0,3, 0,35

σ =

6.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = 10X + 5. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,35, 0,05, 0,15, 0,35, 0,1Y = 10X + 5

σ_Y =

7.Нормальний розподілСередня

Нехай тривалості доставки розподілені нормально із середнім 32 min і стандартним відхиленням 6 min. Яка частка значень лежить між 32 і 33,2 min? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 32σ = 6x₁ = 32x₂ = 33,2

P =

8.Нормальний розподілСкладна

Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 20 % значень (20-й процентиль).

μ = 250σ = 5P = 20%

x = g

9.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 11 елементів має середнє 68 і стандартне відхилення s = 15,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 90 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 11x̄ = 68s = 15,590%t(10) = 1,812

верхня межа =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 6. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 1?

σ = 6E = 195%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 100 деталей має середню довжину 59 mm, відоме стандартне відхилення лінії 10 mm. Лінія 2: вибірка з 80 деталей має середнє 60,1 mm, відоме стандартне відхилення 9 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).

n₁ = 100x̄₁ = 59 mmσ₁ = 10 mmn₂ = 80x̄₂ = 60,1 mmσ₂ = 9 mm

z =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 36 вимірювань має середнє 55,8. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 12. Знайдіть верхню межу U 90 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 55,8σ = 12n = 3690%

U =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 6

r² =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 18.

n = 6x = 18

ŷ =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 1402 × 3

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій незалежності хі-квадрат застосовують до таблиці спряженості з 2 рядками й 2 стовпцями (без урахування підсумків). За таблицею знайдіть критичне значення χ²_crit при рівні значущості α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: B · Якби нульова гіпотеза була правдивою, такі екстремальні дані траплялися б приблизно в 3% випадків

Чому це відповідь

Значення p — ймовірність отримати результати, не менш екстремальні за спостережувані, якщо нульова гіпотеза правдива. Воно не показує ймовірності правдивості гіпотези чи розміру ефекту.

Відповідь

B · Якби нульова гіпотеза була правдивою, такі екстремальні дані траплялися б приблизно в 3% випадків

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Знаково-ранговий тест Вілкоксона

Чому це відповідь

Тест Вілкоксона призначений для парних порядкових даних; U-тест Манна — Вітні — його відповідник для незалежних груп.

Відповідь

A · Знаково-ранговий тест Вілкоксона

3.Описова статистика

Відповідь: s = 7,906

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 190/5 = 38

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 8² + 1² + 7² + (−10)² + (−6)² = 250

Стандартне відхилення

s = √(250/4) = 7,906

Відповідь

s = 7,906

4.Описова статистика

Відповідь: z = −0,8

Стандартизуйте

z = (43,6 − 50)/8 = −0,8

Відповідь

z = −0,8

5.Імовірність

Відповідь: σ = 0,995

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 1·0,1 + 2·0,25 + 3·0,3 + 4·0,35 = 2,9

Середнє квадратів

E(X²) = 1·0,1 + 4·0,25 + 9·0,3 + 16·0,35 = 9,4

Дисперсія

Var(X) = 9,4 − 2,9² = 0,99

σ = √0,99 = 0,995

Відповідь

σ = 0,995

6.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 14,7

Розкид X

μ = 2,8, Var(X) = 2,16, σ_X = 1,47

Лінійна зміна

σ_Y = |10|·1,47 = 14,7

Відповідь

σ_Y = 14,7

Середнє таки зсувається: E(Y) = 10·2,8 + 5 = 33.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,07926

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (32 − 32)/6 = 0

z₂ = (33,2 − 32)/6 = 0,2

Площа між

P = Φ(0,2) − Φ(0) = 0,5793 − 0,5 = 0,07926

Відповідь

P = 0,07926

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 245,8 g

z для процентиля

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Назад до x

x = 250 + −0,8416·5 = 245,79 g

Відповідь

x = 245,79 g

9.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 76,47

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 10, t = 1,812

Похибка оцінки

E = 1,812·15,5/√11 = 8,468

Інтервал

68 ± 8,468 → [59,53, 76,47]

Відповідь

верхня межа = 76,47

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 139

Виразіть n

n = (1,96·6/1)² = 138,3

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 139

Відповідь

n = 139

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = −0,7754

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартна похибка різниці

SE = √(10²/100 + 9²/80) = √2,013 = 1,419

Статистика критерію

z = (59 − 60,1)/1,419 = −0,7754

Відповідь

z = −0,7754

|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: U = 59,09

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Похибка оцінки

E = 1,645·12/√36 = 3,29

Межа інтервалу

U = 55,8 + 3,29 = 59,09

Відповідь

U = 59,09

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9928

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 89/6 = 14,83

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 125

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 224,8

Коефіцієнт детермінації

r² = 125²/(70·224,8) = 0,9928

Відповідь

r² = 0,9928

Близько 99,28% варіації y пояснюється прямою.

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 46,55

Середні

x̄ = 120/6 = 20

ȳ = 328/6 = 54,67

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 284

Лінія регресії

b = 284/70 = 4,057

a = 54,67 − 4,057·20 = −26,48

ŷ = −26,48 + 4,057·x

Прогноз

ŷ = −26,48 + 4,057·18 = 46,55

Відповідь

ŷ = 46,55

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 3,228

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

міські: 40·35/140 = 10, 40·49/140 = 14, 40·56/140 = 16

сільські: 100·35/140 = 25, 100·49/140 = 35, 100·56/140 = 40

Статистика хі-квадрат

χ² = (6 − 10)²/10 + (17 − 14)²/14 + (17 − 16)²/16 + (29 − 25)²/25 + (32 − 35)²/35 + (39 − 40)²/40

χ² = 3,228

Відповідь

χ² = 3,228

df = 2. При α = 0,05 критичне значення 5,991, тож H₀ (незалежність) не відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ²_crit = 3,841

Ступені вільності

df = (2 − 1)·(2 − 1) = 1

Таблиця

χ²_crit(df = 1, α = 0,05) = 3,841

Відповідь

χ²_crit = 3,841

Відхиліть H₀, якщо обчислене χ² більше за це значення.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology