Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Дослідженню, проведеному лише з американськими студентами бакалаврату, може бракувати:

AВнутрішньої узгодженості
BЗмістової валідності
CНадійності між оцінювачами
DПопуляційної валідності

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

У тематичному аналізі аналітик переважно:

AОбчислює середній бал за кожною темою, щоб порівняти їх статистично
BПеревіряє числову гіпотезу
CВиявляє повторювані смислові патерни в якісних даних
DЛише рахує частоту слів

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 56, 12, 45, 23, 19, 36.

n = 6

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 20. Яка частка P значень менша за 130?

μ = 170σ = 20x = 130

P =

5.ІмовірністьСередня

Правильний кубик кидають 3 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?

n = 3

P =

6.ІмовірністьСкладна

Тестують 9 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,5. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?

n = 9p = 0,5

P =

7.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,9625. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,9625

z =

8.Нормальний розподілСкладна

Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 25 % значень (25-й процентиль).

μ = 65σ = 10P = 25%

x = балів

9.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 25 елементів має середнє 13,5 і стандартне відхилення s = 19,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 90 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 25x̄ = 13,5s = 19,590%t(24) = 1,711

E =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Про частку бракованих виробів наперед нічого не відомо. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 99 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,01?

p = 0,5E = 0,0199%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

6 працівників проходять тест на швидкість друку до й після навчального курсу. Для кожного записують різницю d = після − до (слів за хвилину). Середня різниця 15,22, стандартне відхилення різниць 11,3. Знайдіть статистику парного критерію t для H₀: μ_d = 0.

n = 6d̄ = 15,22s_d = 11,3

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 36 вимірювань має середнє 76. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 15. Знайдіть нижню межу L 99 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 76σ = 15n = 3699%

L =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 6

r² =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 6,5.

n = 5x = 6,5

ŷ =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 1202 × 2

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій незалежності хі-квадрат застосовують до таблиці спряженості з 2 рядками й 5 стовпцями (без урахування підсумків). Скільки ступенів вільності df має критерій?

2 × 5

df =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: D · Популяційної валідності

Чому це відповідь

Популяційна валідність — вид зовнішньої валідності. Вибірки переважно з молодих, західних і освічених людей можуть не репрезентувати інших.

Відповідь

D · Популяційної валідності

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: C · Виявляє повторювані смислові патерни в якісних даних

Чому це відповідь

Тематичний аналіз охоплює ознайомлення з даними, кодування, формування, перегляд і називання тем та написання звіту; у центрі — зміст, а не статистика.

Відповідь

C · Виявляє повторювані смислові патерни в якісних даних

3.Описова статистика

Відповідь: s = 16,8

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 191/6 = 31,83

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 24,17² + (−19,83)² + 13,17² + (−8,833)² + (−12,83)² + 4,167² = 1411

Стандартне відхилення

s = √(1411/5) = 16,8

Відповідь

s = 16,8

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,02275

Стандартизуйте

z = −2

Таблиця нормального розподілу

Φ(−2) = 0,02275

P = 0,02275

Відповідь

P = 0,02275

5.Імовірність

Відповідь: P = 0,4213

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Протилежна подія

P(немає шістки) = (5/6)³ = 0,5787

P = 1 − 0,5787 = 0,4213

Відповідь

P = 0,4213

6.Імовірність

Відповідь: P = 0,01953

Нуль і одна відмова

P(X = 0) = 0,5⁹ = 0,001953

P(X = 1) = 9·0,5·0,5⁸ = 0,01758

Додайте

P = 0,001953 + 0,01758 = 0,01953

Відповідь

P = 0,01953

7.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 2,08

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = (1 + 0,9625)/2 = 0,9812

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,9812 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 2,08

Відповідь

z = 2,08

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 58,26 балів

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Назад до x

x = 65 + −0,6745·10 = 58,26 балів

Відповідь

x = 58,26 балів

9.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 6,673

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 24, t = 1,711

Похибка оцінки

E = 1,711·19,5/√25 = 6,673

Відповідь

E = 6,673

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 16590

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Виразіть n

n = 2,576²·0,5·0,5/0,01² = 16589

Округліть угору

n = 16590

Відповідь

n = 16590

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 3,299

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Стандартна похибка середньої різниці

SE = 11,3/√6 = 4,613

Статистика критерію

t = 15,22/4,613 = 3,299

Відповідь

t = 3,299

При df = 5 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,571; |t| більше, тож H₀ відхиляється.

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: L = 69,56

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Похибка оцінки

E = 2,576·15/√36 = 6,44

Межа інтервалу

L = 76 − 6,44 = 69,56

Відповідь

L = 69,56

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,8438

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 436/6 = 72,67

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 82

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 455,3

Коефіцієнт детермінації

r² = 82²/(17,5·455,3) = 0,8438

Відповідь

r² = 0,8438

Близько 84,38% варіації y пояснюється прямою.

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 44,9

Середні

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 193/5 = 38,6

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 42

Лінія регресії

b = 42/10 = 4,2

a = 38,6 − 4,2·5 = 17,6

ŷ = 17,6 + 4,2·x

Прогноз

ŷ = 17,6 + 4,2·6,5 = 44,9

Відповідь

ŷ = 44,9

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 2,637

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

курці: 80·78/120 = 52, 80·42/120 = 28

некурці: 40·78/120 = 26, 40·42/120 = 14

Статистика хі-квадрат

χ² = (48 − 52)²/52 + (32 − 28)²/28 + (30 − 26)²/26 + (10 − 14)²/14

χ² = 2,637

Відповідь

χ² = 2,637

df = 1. При α = 0,05 критичне значення 3,841, тож H₀ (незалежність) не відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: df = 4

Ступені вільності

df = (2 − 1)·(5 − 1) = 4

Відповідь

df = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology