Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Дослідник вивчає вплив статі на бали за тестом пам'яті. Чому це квазіексперимент, а не справжній експеримент?

AНЗ — наперед наявна характеристика, тож учасників не можна випадково розподілити за нею
BДослідження відбувається в лабораторії
CЄ лише дві умови, а справжній експеримент потребує щонайменше трьох рівнів НЗ
DЗЗ не вимірюють

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Дослідження виявило, що студенти, які більше сплять, мають вищі оцінки. Яка зміна дизайну найкраще дозволила б зробити причинний висновок?

AОпитати більше студентів
BТочніше вимірювати оцінки
CВипадково розподілити студентів за різними режимами сну
DПопросити студентів двічі повідомити про сон і усереднити два звіти

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 52, 52, 28, 12, 45.

n = 5

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 25. Яка частка P значень більша за 515?

μ = 500σ = 25x = 515

P =

5.ІмовірністьСередня

У мішечку 5 червоних і 8 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?

5 / 8

P =

6.ІмовірністьСкладна

Тест має 7 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,25, незалежно. Яка ймовірність P рівно 2 правильних відповідей?

n = 7p = 0,25k = 2

P =

7.Нормальний розподілСередня

Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Яка частка значень лежить між 45 і 80 балів? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 65σ = 10x₁ = 45x₂ = 80

P =

8.Нормальний розподілСкладна

Маса виробу з лінії 1 (X) і з лінії 2 (Y) незалежні та нормальні: X має середнє 500 g і середнє квадратичне відхилення 8 g, Y має середнє 490 g і середнє квадратичне відхилення 6 g. Знайдіть імовірність P того, що X більше за Y. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

9.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 9 елементів має середнє 82,5 і стандартне відхилення s = 4,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 95 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 9x̄ = 82,5s = 4,595%t(8) = 2,306

E =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Діаметри 20 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 4,3 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: верхня межа σ. При df = 19 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 8,907 і 2,5 % — вище від 32,852.

n = 20s = 4,3 µmχ² = 8,907, 32,852

σ = µm

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

11 працівників проходять тест на швидкість друку до й після навчального курсу. Для кожного записують різницю d = після − до (слів за хвилину). Середня різниця 0,7, стандартне відхилення різниць 1,1. Знайдіть статистику парного критерію t для H₀: μ_d = 0.

n = 11d̄ = 0,7s_d = 1,1

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій для H₀: μ = 50 проти H₁: μ < 50 виконують на рівні α = 0.01 за вибіркою обсягом 100; стандартне відхилення відоме й дорівнює 30. Насправді середнє дорівнює 39.2. Знайдіть імовірність помилки другого роду β у відсотках.

μ₀ = 50μ = 39,2σ = 30n = 100α = 0,01

β = %

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 6

r² =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 12?

n = 6ŷ = 12

x =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 1202 × 3

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій узгодженості хі-квадрат перевіряє, чи частоти в 5 категоріях відповідають розподілу Пуассона, середнє якого оцінено з тих самих даних. Скільки ступенів вільності df має критерій?

k = 5

df =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · НЗ — наперед наявна характеристика, тож учасників не можна випадково розподілити за нею

Чому це відповідь

У квазіексперименті НЗ — природна відмінність між людьми. Без випадкового розподілу інші відмінності між групами можуть змішуватися з результатами.

Відповідь

A · НЗ — наперед наявна характеристика, тож учасників не можна випадково розподілити за нею

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: C · Випадково розподілити студентів за різними режимами сну

Чому це відповідь

Лише маніпуляція сном із випадковим розподілом контролює треті змінні й дозволяє причинний висновок у межах етики.

Відповідь

C · Випадково розподілити студентів за різними режимами сну

3.Описова статистика

Відповідь: s = 17,44

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 189/5 = 37,8

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 14,2² + 14,2² + (−9,8)² + (−25,8)² + 7,2² = 1217

Стандартне відхилення

s = √(1217/4) = 17,44

Відповідь

s = 17,44

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,2743

Стандартизуйте

z = 0,6

Таблиця нормального розподілу

Φ(0,6) = 0,7257

P = 1 − 0,7257 = 0,2743

Відповідь

P = 0,2743

5.Імовірність

Відповідь: P = 0,1282

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Перше і друге витягування

P = 5/13 · 4/12 = 20/156 = 0,1282

Відповідь

P = 0,1282

6.Імовірність

Відповідь: P = 0,3115

Біноміальна формула

P(X = 2) = 21·0,25²·0,75⁵ = 21·0,0625·0,2373 = 0,3115

Відповідь

P = 0,3115

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9104

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (45 − 65)/10 = −2

z₂ = (80 − 65)/10 = 1,5

Площа між

P = Φ(1,5) − Φ(−2) = 0,9332 − 0,02275 = 0,9104

Відповідь

P = 0,9104

8.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,8413

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл різниці

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Стандартизуйте

z = (0 − 10)/10 = −1

Імовірність

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Відповідь

P = 0,8413

9.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 3,459

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 8, t = 2,306

Похибка оцінки

E = 2,306·4,5/√9 = 3,459

Відповідь

E = 3,459

10.Довірчі інтервали

Відповідь: σ = 6,28 µm

Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.

Сума квадратів

(n − 1)s² = 19·4,3² = 351,3

Межі для σ²

351,3/32,852 = 10,69

351,3/8,907 = 39,44

Межа для σ

σ = √39,44 = 6,28 µm

Відповідь

σ = 6,28 µm

95 % інтервал для σ: [3,27, 6,28] µm.

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 2,111

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Стандартна похибка середньої різниці

SE = 1,1/√11 = 0,3317

Статистика критерію

t = 0,7/0,3317 = 2,111

Відповідь

t = 2,111

При df = 10 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,228; |t| менше, тож H₀ не відхиляється.

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: β = 10,13 %

Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критичне вибіркове середнє

SE = 30/√100 = 3

x̄_c = 50 − 2,326·3 = 43,02

z при справжньому середньому

z = (43,02 − 39,2)/3 = 1,274

Помилка другого роду

потужність = P(Z < 1.274) = 89.87%

β = 100% − 89,87% = 10,13%

Відповідь

β = 10,13%

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9881

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 147/6 = 24,5

ȳ = 686/6 = 114,3

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 753

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 3643

Коефіцієнт детермінації

r² = 753²/(157,5·3643) = 0,9881

Відповідь

r² = 0,9881

Близько 98,81% варіації y пояснюється прямою.

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 5,562

Середні

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 107/6 = 17,83

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −49,5

Лінія регресії

b = −49,5/17,5 = −2,829

a = 17,83 − (−2,829)·3,5 = 27,73

ŷ = 27,73 − 2,829·x

Розв’яжіть щодо x

x = (12 − 27,73)/(−2,829) = 5,562

Відповідь

x = 5,562

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 4,267

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

денна зміна: 60·60/120 = 30, 60·30/120 = 15, 60·30/120 = 15

нічна зміна: 60·60/120 = 30, 60·30/120 = 15, 60·30/120 = 15

Статистика хі-квадрат

χ² = (30 − 30)²/30 + (19 − 15)²/15 + (11 − 15)²/15 + (30 − 30)²/30 + (11 − 15)²/15 + (19 − 15)²/15

χ² = 4,267

Відповідь

χ² = 4,267

df = 2. При α = 0,05 критичне значення 5,991, тож H₀ (незалежність) не відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: df = 3

Ступені вільності

df = 5 − 1 − 1 = 3

Відповідь

df = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology