Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Яка статистика доречна для зв'язку між двома наборами рангів, як-от рангами картин, виставленими суддями?

AРо Спірмена
Br Пірсона
Ct-тест для незалежних вибірок
DХі-квадрат

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Фізичні вправи зменшують депресію, і цей ефект виникає тому, що вправи покращують сон, а він, своєю чергою, знижує депресію. Сон найкраще описати як:

AСторонню змінну
BКонтрольовану змінну
CМодератор
DМедіатор

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 45, 49, 31, 23, 31.

n = 5

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 12. Яка частка P значень більша за 55,6?

μ = 70σ = 12x = 55,6

P =

5.ІмовірністьСередня

Скількома способами N можна обрати комісію з 4 осіб із групи з 10 осіб? Порядок не має значення.

n = 10k = 4

N =

6.ІмовірністьСкладна

Тест має 6 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,6, незалежно. Яка ймовірність P рівно 1 правильних відповідей?

n = 6p = 0,6k = 1

P =

7.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,5821. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,5821

z =

8.Нормальний розподілСкладна

Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 90 % значень (90-й процентиль).

μ = 100σ = 15P = 90%

x = балів

9.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 9 елементів має середнє 38 і стандартне відхилення s = 19. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 99 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 9x̄ = 38s = 1999%t(8) = 3,355

E =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 35. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 0,5?

σ = 35E = 0,595%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 120; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 10. Випадкова вибірка з 100 спостережень має середнє 121,4. Перевірте H₀: μ = 120 проти H₁: μ > 120. Знайдіть p-значення p.

μ₀ = 120σ = 10n = 100x̄ = 121,4H₁: μ > μ₀

p =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 49 вимірювань має середнє 123,1. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 8. Знайдіть нижню межу L 95 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 123,1σ = 8n = 4995%

L =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 5

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 6.

n = 6x = 6

ŷ =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Для критерію незалежності хі-квадрат знайдіть очікувану частоту E для клітинки «міські, низький».

сума рядка = 70сума стовпця = 46N = 144

E =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій незалежності хі-квадрат застосовують до таблиці спряженості з 2 рядками й 4 стовпцями (без урахування підсумків). Скільки ступенів вільності df має критерій?

2 × 4

df =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Ро Спірмена

Чому це відповідь

Рангова кореляція Спірмена вимірює силу монотонного зв'язку між двома ранжованими чи порядковими змінними.

Відповідь

A · Ро Спірмена

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: D · Медіатор

Чому це відповідь

Медіатор лежить на причинному шляху між предиктором і результатом, пояснюючи, як або чому виникає ефект.

Відповідь

D · Медіатор

3.Описова статистика

Відповідь: s = 10,83

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 179/5 = 35,8

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 9,2² + 13,2² + (−4,8)² + (−12,8)² + (−4,8)² = 468,8

Стандартне відхилення

s = √(468,8/4) = 10,83

Відповідь

s = 10,83

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,8849

Стандартизуйте

z = −1,2

Таблиця нормального розподілу

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 1 − 0,1151 = 0,8849

Відповідь

P = 0,8849

5.Імовірність

Відповідь: N = 210

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Комбінації

C(10, 4) = (10·9·8·7)/(4·3·2·1) = 210

Відповідь

N = 210

6.Імовірність

Відповідь: P = 0,03686

Біноміальна формула

P(X = 1) = 6·0,6¹·0,4⁵ = 6·0,6·0,01024 = 0,03686

Відповідь

P = 0,03686

7.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 0,81

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = (1 + 0,5821)/2 = 0,7910

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,7910 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 0,81

Відповідь

z = 0,81

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 119,2 балів

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Назад до x

x = 100 + 1,282·15 = 119,22 балів

Відповідь

x = 119,22 балів

9.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 21,25

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 8, t = 3,355

Похибка оцінки

E = 3,355·19/√9 = 21,25

Відповідь

E = 21,25

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 18824

Виразіть n

n = (1,96·35/0,5)² = 18824

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 18824

Відповідь

n = 18824

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: p = 0,08076

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерію

SE = σ/√n = 10/√100 = 1

z = (121,4 − 120)/1 = 1,4

Площа хвоста

Φ(1,4) = 0,9192

1 − Φ(1,4) = 0,0808

p-значення

p = 0,08076

Відповідь

p = 0,08076

p > 0,05, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 %.

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: L = 120,9

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Похибка оцінки

E = 1,96·8/√49 = 2,24

Межа інтервалу

L = 123,1 − 2,24 = 120,9

Відповідь

L = 120,9

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9714

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 353/5 = 70,6

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 194

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 997,2

Коефіцієнт кореляції

r = 194/√(40·997,2) = 0,9714

Відповідь

r = 0,9714

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 54

Середні

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 324/6 = 54

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 204

Лінія регресії

b = 204/70 = 2,914

a = 54 − 2,914·6 = 36,51

ŷ = 36,51 + 2,914·x

Прогноз

ŷ = 36,51 + 2,914·6 = 54

Відповідь

ŷ = 54

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: E = 22,36

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувана частота

E = 70·46/144 = 22,36

Відповідь

E = 22,36

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: df = 3

Ступені вільності

df = (2 − 1)·(4 − 1) = 3

Відповідь

df = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology