Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Новий опитувальник депресії прогнозує, які студенти звернуться по лікування впродовж наступного року. Це підтверджує який тип валідності?

AОчевидну (face) валідність
BПоточну (concurrent) валідність
CЗмістову валідність
DПрогностичну валідність

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

«Криза відтворюваності» в психології означає:

AКопіювання опитувальників без дозволу
BБрак учасників для експериментів
CЩо багато опублікованих результатів не відтворюються в нових дослідженнях
DТе, що журнали за законом зобов'язані відхиляти всі подані дослідження-реплікації

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 51, 36, 17, 31, 58, 48.

n = 6

s =

4.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 10. Знайдіть z-оцінку z для результату 52.

μ = 60σ = 10x = 52

z =

5.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,35, 0,2, 0,2

σ =

6.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €10. Ви виграєте €20 з імовірністю 0,15 і €100 з імовірністю 0,01; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €10€20: p = 0,15€100: p = 0,01

E(G) = €

7.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,3829. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,3829

z =

8.Нормальний розподілСкладна

результати IQ-тестів нормально розподілені із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 25% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 100 балівσ = 15 балів25%

x = балів

9.Довірчі інтервалиСередня

Артеріальний тиск 16 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє 9,8 і стандартне відхилення 7,7. Знайдіть верхню межу 95 % довірчого інтервалу для середньої різниці.

n = 16d̄ = 9,8s_d = 7,795%t(15) = 2,131

верхня межа = mmHg

10.Довірчі інтервалиСкладна

Пілотне дослідження показує, що бракованими є приблизно 0,1 виробів. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 95 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,01?

p ≈ 0,1E = 0,0195%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 81 студентів має середній бал 106,4 і вибіркове стандартне відхилення 20. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 106,4s = 20n = 81

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій для H₀: μ = 80 проти H₁: μ < 80 виконують на рівні α = 0.05 за вибіркою обсягом 100; стандартне відхилення відоме й дорівнює 15. Насправді середнє дорівнює 77.9. Знайдіть потужність 1 − β критерію у відсотках.

μ₀ = 80μ = 77,9σ = 15n = 100α = 0,05

1 − β = %

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 5

r² =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (5, 14). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 6(5, 14)

e =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Для критерію незалежності хі-квадрат знайдіть очікувану частоту E для клітинки «міські, середній».

сума рядка = 39сума стовпця = 22N = 126

E =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій узгодженості хі-квадрат порівнює спостережувані частоти в 4 категоріях з повністю заданими очікуваними частками (жодних параметрів з даних не оцінюють). Скільки ступенів вільності df має критерій?

k = 4

df =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: D · Прогностичну валідність

Чому це відповідь

Прогностичну валідність показано, коли бали прогнозують пізніший критерій. Поточна валідність використовує критерій, виміряний одночасно.

Відповідь

D · Прогностичну валідність

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: C · Що багато опублікованих результатів не відтворюються в нових дослідженнях

Чому це відповідь

Великі проєкти реплікацій виявили, що багато ефектів менші або відсутні, що пов'язано з упередженістю публікацій, малими вибірками та гнучким аналізом. Однією з відповідей є попередня реєстрація.

Відповідь

C · Що багато опублікованих результатів не відтворюються в нових дослідженнях

3.Описова статистика

Відповідь: s = 15,07

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 241/6 = 40,17

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 10,83² + (−4,167)² + (−23,17)² + (−9,167)² + 17,83² + 7,833² = 1135

Стандартне відхилення

s = √(1135/5) = 15,07

Відповідь

s = 15,07

4.Описова статистика

Відповідь: z = −0,8

Стандартизуйте

z = (52 − 60)/10 = −0,8

Відповідь

z = −0,8

5.Імовірність

Відповідь: σ = 1,062

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,25 + 1·0,35 + 2·0,2 + 3·0,2 = 1,35

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,35 + 4·0,2 + 9·0,2 = 2,95

Дисперсія

Var(X) = 2,95 − 1,35² = 1,127

σ = √1,127 = 1,062

Відповідь

σ = 1,062

6.Імовірність

Відповідь: E(G) = −6 €

Чисті результати

G: 10 (p = 0,15), 90 (p = 0,01), −10 (p = 0,84)

Математичне сподівання

E(G) = 10·0,15 + 90·0,01 − 10·0,84 = −6 €

Відповідь

E(G) = −6 €

Від’ємне значення означає, що в середньому ви втрачаєте гроші.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 0,5

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = (1 + 0,3829)/2 = 0,6915

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,6915 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 0,50

Відповідь

z = 0,50

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 90 балів

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,25

z з таблиці

z ≈ −0,67

Назад до початкових одиниць

x = 100 − 0,67·15 = 90 балів

Відповідь

x = 90 балів

9.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 13,9 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критичне значення

df = 15, t = 2,131

Похибка оцінки

E = 2,131·7,7/√16 = 4,102

Інтервал

9,8 ± 4,102 → [5,698, 13,9]

Відповідь

верхня межа = 13,9 mmHg

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 3458

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Виразіть n

n = 1,96²·0,1·0,9/0,01² = 3457

Округліть угору

n = 3458

Відповідь

n = 3458

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 2,88

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 20/√81 = 20/9 = 2,222

Статистика критерію

t = (106,4 − 100)/2,222 = 2,88

Відповідь

t = 2,88

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: 1 − β = 40,32 %

Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критичне вибіркове середнє

SE = 15/√100 = 1,5

x̄_c = 80 − 1,645·1,5 = 77,53

z при справжньому середньому

z = (77,53 − 77,9)/1,5 = −0,245

Потужність

потужність = P(Z < −0.245) = 40.32%

1 − β = 40,32%

Відповідь

1 − β = 40,32%

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,6531

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 123/5 = 24,6

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −16

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 39,2

Коефіцієнт детермінації

r² = −16²/(10·39,2) = 0,6531

Відповідь

r² = 0,6531

Близько 65,31% варіації y пояснюється прямою.

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = 5,095

Середні

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 74/6 = 12,33

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 120

Лінія регресії

b = 120/70 = 1,714

a = 12,33 − 1,714·7 = 0,3333

ŷ = 0,3333 + 1,714·x

Прогнозоване значення

ŷ = 0,3333 + 1,714·5 = 8,905

Залишок

e = 14 − 8,905 = 5,095

Відповідь

e = 5,095

Точка лежить вище прямої.

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: E = 6,81

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувана частота

E = 39·22/126 = 6,81

Відповідь

E = 6,81

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: df = 3

Ступені вільності

df = 4 − 1 = 3

Відповідь

df = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology