Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Яка статистика доречна для зв'язку між двома наборами рангів, як-от рангами картин, виставленими суддями?

AРо Спірмена
Br Пірсона
CХі-квадрат
Dt-тест для незалежних вибірок

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Чому багато дослідників стверджують, що p-значення слід подавати разом із розмірами ефекту та довірчими інтервалами?

AP-значення показують імовірність того, що гіпотеза правдива
BДовірчі інтервали потрібні лише в якісних дослідженнях
CP-значення не показує, наскільки великий чи точно оцінений ефект
DРозміри ефекту роблять обсяг вибірки неважливим для значущості

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 23, 45, 52, 16, 30, 23.

n = 6

s =

4.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 15. Знайдіть z-оцінку z для результату 82.

μ = 100σ = 15x = 82

z =

5.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3

σ =

6.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = −2X − 3. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,25, 0,25, 0,3, 0,2Y = −2X − 3

σ_Y =

7.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,7054. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,7054

z =

8.Нормальний розподілСкладна

Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 97,5 % значень (97,5-й процентиль).

μ = 500σ = 40P = 97,5%

x = h

9.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 15 елементів має середнє 77 і стандартне відхилення s = 6,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 90 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 15x̄ = 77s = 6,590%t(14) = 1,761

верхня межа =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 27. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 4?

σ = 27E = 499%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 80 деталей має середню довжину 71,5 mm, відоме стандартне відхилення лінії 8 mm. Лінія 2: вибірка з 100 деталей має середнє 69,4 mm, відоме стандартне відхилення 19 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).

n₁ = 80x̄₁ = 71,5 mmσ₁ = 8 mmn₂ = 100x̄₂ = 69,4 mmσ₂ = 19 mm

z =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 16 вимірювань має середнє 107,8. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 12. Знайдіть нижню межу L 95 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 107,8σ = 12n = 1695%

L =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 6

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (1,5, 20). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 6(1,5, 20)

e =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 1802 × 2

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Таблиця містить спостережувані частоти. Перевірте при α = 0,01, чи дві змінні незалежні (без поправки на неперервність). Обчисліть статистику критерію χ², а потім порівняйте її з критичним значенням з таблиці.

N = 1603 × 2α = 0,01

χ² =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Ро Спірмена

Чому це відповідь

Рангова кореляція Спірмена вимірює силу монотонного зв'язку між двома ранжованими чи порядковими змінними.

Відповідь

A · Ро Спірмена

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: C · P-значення не показує, наскільки великий чи точно оцінений ефект

Чому це відповідь

P-значення сильно залежить від обсягу вибірки й лише показує, наскільки несподіваними є дані за нульової гіпотези. Розміри ефекту показують величину, а інтервали — точність.

Відповідь

C · P-значення не показує, наскільки великий чи точно оцінений ефект

3.Описова статистика

Відповідь: s = 14,07

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 189/6 = 31,5

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−8,5)² + 13,5² + 20,5² + (−15,5)² + (−1,5)² + (−8,5)² = 989,5

Стандартне відхилення

s = √(989,5/5) = 14,07

Відповідь

s = 14,07

4.Описова статистика

Відповідь: z = −1,2

Стандартизуйте

z = (82 − 100)/15 = −1,2

Відповідь

z = −1,2

5.Імовірність

Відповідь: σ = 0,8047

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55

Дисперсія

Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475

σ = √0,6475 = 0,8047

Відповідь

σ = 0,8047

6.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 4,285

Розкид X

μ = 2,9, Var(X) = 4,59, σ_X = 2,142

Лінійна зміна

σ_Y = |−2|·2,142 = 4,285

Відповідь

σ_Y = 4,285

Середнє таки зсувається: E(Y) = −2·2,9 − 3 = −8,8.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: z = −0,54

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = 1 − 0,7054 = 0,2946

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,2946 усередині таблиці й зчитайте z.

z = −0,54

Відповідь

z = −0,54

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 578,4 h

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Назад до x

x = 500 + 1,96·40 = 578,4 h

Відповідь

x = 578,4 h

9.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 79,96

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 14, t = 1,761

Похибка оцінки

E = 1,761·6,5/√15 = 2,955

Інтервал

77 ± 2,955 → [74,04, 79,96]

Відповідь

верхня межа = 79,96

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 303

Виразіть n

n = (2,576·27/4)² = 302,3

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 303

Відповідь

n = 303

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = 1

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартна похибка різниці

SE = √(8²/80 + 19²/100) = √4,41 = 2,1

Статистика критерію

z = (71,5 − 69,4)/2,1 = 1

Відповідь

z = 1

|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: L = 101,9

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Похибка оцінки

E = 1,96·12/√16 = 5,88

Межа інтервалу

L = 107,8 − 5,88 = 101,9

Відповідь

L = 101,9

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9939

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 114/6 = 19

ȳ = 372/6 = 62

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 338

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1652

Коефіцієнт кореляції

r = 338/√(70·1652) = 0,9939

Відповідь

r = 0,9939

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = −4,976

Середні

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 107/6 = 17,83

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −62,5

Лінія регресії

b = −62,5/17,5 = −3,571

a = 17,83 − (−3,571)·3,5 = 30,33

ŷ = 30,33 − 3,571·x

Прогнозоване значення

ŷ = 30,33 + (−3,571)·1,5 = 24,98

Залишок

e = 20 − 24,98 = −4,976

Відповідь

e = −4,976

Точка лежить нижче прямої.

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 14,4

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

чоловіки: 120·54/180 = 36, 120·126/180 = 84

жінки: 60·54/180 = 18, 60·126/180 = 42

Статистика хі-квадрат

χ² = (25 − 36)²/36 + (95 − 84)²/84 + (29 − 18)²/18 + (31 − 42)²/42

χ² = 14,4

Відповідь

χ² = 14,4

df = 1. При α = 0,05 критичне значення 3,841, тож H₀ (незалежність) відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 20,21

Очікувані частоти

лінія 1: 48, 12

лінія 2: 32, 8

лінія 3: 48, 12

Статистика хі-квадрат

χ² = (59 − 48)²/48 + (1 − 12)²/12 + (28 − 32)²/32 + (12 − 8)²/8 + (41 − 48)²/48 + (19 − 12)²/12

χ² = 20,21

Рішення

df = 2, χ²_crit = 9,210

20,21 > 9,210

Відповідь

χ² = 20,21

χ² вище за критичне значення, тож H₀ відхиляється: змінні, схоже, пов’язані.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology