Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Значення p = 0,03 означає:

AРезультат відтвориться в 97% випадків
BЕфект великий
CЯкби нульова гіпотеза була правдивою, такі екстремальні дані траплялися б приблизно в 3% випадків
DЗ огляду на спостережувані дані, нульова гіпотеза правдива лише з імовірністю 3%

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Дослідження пам'яті використовує дизайн повторних вимірювань, у якому всі вивчають спершу список A, а потім список B. Пригадування краще для списку B. Яка вада найімовірніша?

AЗавеликий обсяг вибірки
BЕфекти порядку, як-от практика, бо умови не контрбалансовано
CІндивідуальні відмінності між групами
DВикористання порядкового рівня вимірювання

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 59, 17, 60, 50, 57, 55, 55.

n = 7

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 25. Яка частка P значень більша за 470?

μ = 500σ = 25x = 470

P =

5.ІмовірністьСередня

Скількома способами N можна обрати комісію з 5 осіб із групи з 8 осіб? Порядок не має значення.

n = 8k = 5

N =

6.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = 10X − 3. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,2, 0,1, 0,35, 0,35Y = 10X − 3

σ_Y =

7.Нормальний розподілСередня

X нормальна із середнім 250 g і середнім квадратичним відхиленням 4 g; Y незалежна й нормальна із середнім 500 g і середнім квадратичним відхиленням 9 g. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 764,8 g. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 764,8 g

P =

8.Нормальний розподілСкладна

результати IQ-тестів нормально розподілені із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 75% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 100 балівσ = 15 балів75%

x = балів

9.Довірчі інтервалиСередня

Артеріальний тиск 10 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє −4,5 і стандартне відхилення 8. Знайдіть верхню межу 99 % довірчого інтервалу для середньої різниці.

n = 10d̄ = −4,5s_d = 899%t(9) = 3,25

верхня межа = mmHg

10.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 18. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 0,5?

σ = 18E = 0,595%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 60 деталей має середню довжину 133 mm, відоме стандартне відхилення лінії 6 mm. Лінія 2: вибірка з 30 деталей має середнє 137,2 mm, відоме стандартне відхилення 16 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).

n₁ = 60x̄₁ = 133 mmσ₁ = 6 mmn₂ = 30x̄₂ = 137,2 mmσ₂ = 16 mm

z =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

У випробуванні одужують 90 з 200 пацієнтів, які отримували лікування A, і 33 з 100 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 90n₁ = 200x₂ = 33n₂ = 100

z =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 6

r² =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 4.

n = 5x = 4

ŷ =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 2002 × 2

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Таблиця містить спостережувані частоти. Перевірте при α = 0,05, чи дві змінні незалежні (без поправки на неперервність). Обчисліть статистику критерію χ², а потім порівняйте її з критичним значенням з таблиці.

N = 2203 × 2α = 0,05

χ² =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: C · Якби нульова гіпотеза була правдивою, такі екстремальні дані траплялися б приблизно в 3% випадків

Чому це відповідь

Значення p — ймовірність отримати результати, не менш екстремальні за спостережувані, якщо нульова гіпотеза правдива. Воно не показує ймовірності правдивості гіпотези чи розміру ефекту.

Відповідь

C · Якби нульова гіпотеза була правдивою, такі екстремальні дані траплялися б приблизно в 3% випадків

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: B · Ефекти порядку, як-от практика, бо умови не контрбалансовано

Чому це відповідь

Коли всі учасники проходять умови в однаковому порядку, покращення може відображати практику, а не список. Контрбалансування (ABBA або половина AB, половина BA) це контролює.

Відповідь

B · Ефекти порядку, як-от практика, бо умови не контрбалансовано

3.Описова статистика

Відповідь: s = 15,1

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 353/7 = 50,43

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 8,571² + (−33,43)² + 9,571² + (−0,4286)² + 6,571² + 4,571² + 4,571² = 1368

Стандартне відхилення

s = √(1368/6) = 15,1

Відповідь

s = 15,1

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,8849

Стандартизуйте

z = −1,2

Таблиця нормального розподілу

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 1 − 0,1151 = 0,8849

Відповідь

P = 0,8849

5.Імовірність

Відповідь: N = 56

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Комбінації

C(8, 5) = (8·7·6·5·4)/(5·4·3·2·1) = 56

Відповідь

N = 56

6.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 11,08

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Розкид X

μ = 1,85, Var(X) = 1,228, σ_X = 1,108

Лінійна зміна

σ_Y = |10|·1,108 = 11,08

Відповідь

σ_Y = 11,08

Середнє таки зсувається: E(Y) = 10·1,85 − 3 = 15,5.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,06681

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Стандартизуйте

z = (764,8 − 750)/9,849 = 1,5

Верхній хвіст

P = 1 − Φ(1,5) = 1 − 0,9332 = 0,06681

Відповідь

P = 0,06681

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 110,1 балів

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,75

z з таблиці

z ≈ 0,67

Назад до початкових одиниць

x = 100 + 0,67·15 = 110,1 балів

Відповідь

x = 110,1 балів

9.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 3,722 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критичне значення

df = 9, t = 3,25

Похибка оцінки

E = 3,25·8/√10 = 8,222

Інтервал

−4,5 ± 8,222 → [−12,72, 3,722]

Відповідь

верхня межа = 3,722 mmHg

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 4979

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (1,96·18/0,5)² = 4979

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 4979

Відповідь

n = 4979

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = −1,39

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартна похибка різниці

SE = √(6²/60 + 16²/30) = √9,133 = 3,022

Статистика критерію

z = (133 − 137,2)/3,022 = −1,39

Відповідь

z = −1,39

|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = 1,992

Вибіркові частки

p̂₁ = 90/200 = 0,45

p̂₂ = 33/100 = 0,33

p̂ = 123/300 = 0,41

Стандартна похибка за H₀

SE = √(0,41·0,59·(1/200 + 1/100)) = 0,06024

Статистика критерію

z = (0,45 − 0,33)/0,06024 = 1,992

Відповідь

z = 1,992

|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9647

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 136/6 = 22,67

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −46

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 125,3

Коефіцієнт детермінації

r² = −46²/(17,5·125,3) = 0,9647

Відповідь

r² = 0,9647

Близько 96,47% варіації y пояснюється прямою.

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 54,15

Середні

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 312/5 = 62,4

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 110

Лінія регресії

b = 110/40 = 2,75

a = 62,4 − 2,75·7 = 43,15

ŷ = 43,15 + 2,75·x

Прогноз

ŷ = 43,15 + 2,75·4 = 54,15

Відповідь

ŷ = 54,15

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 24,38

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

курці: 100·140/200 = 70, 100·60/200 = 30

некурці: 100·140/200 = 70, 100·60/200 = 30

Статистика хі-квадрат

χ² = (54 − 70)²/70 + (46 − 30)²/30 + (86 − 70)²/70 + (14 − 30)²/30

χ² = 24,38

Відповідь

χ² = 24,38

df = 1. При α = 0,05 критичне значення 3,841, тож H₀ (незалежність) відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 14,46

Очікувані частоти

лінія 1: 30, 70

лінія 2: 24, 56

лінія 3: 12, 28

Статистика хі-квадрат

χ² = (40 − 30)²/30 + (60 − 70)²/70 + (23 − 24)²/24 + (57 − 56)²/56 + (3 − 12)²/12 + (37 − 28)²/28

χ² = 14,46

Рішення

df = 2, χ²_crit = 5,991

14,46 > 5,991

Відповідь

χ² = 14,46

χ² вище за критичне значення, тож H₀ відхиляється: змінні, схоже, пов’язані.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology