Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

У дослідженнях методом спостереження вибірка подій (event sampling) означає:

AФіксацію лише тих подій, про які повідомляють учасники
BВипадковий вибір учасників
CФіксацію поведінки лише через фіксовані проміжки часу
DФіксацію кожного випадку певної поведінки

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Дослідник маніпулює настроєм, показуючи сумний фільм, а потім просить учасників оцінити, наскільки сумно їм перед основним завданням. Навіщо включено цю оцінку?

AЩоб контрбалансувати порядок умов
BЯк основну залежну змінну дослідження
CЯк перевірку маніпуляції, щоб підтвердити, що НЗ спрацювала як задумано
DЩоб провести з учасниками дебрифінг щодо цілей

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 41, 19, 31, 13, 48, 21, 17.

n = 7

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 50. Яка частка P значень більша за 530?

μ = 500σ = 50x = 530

P =

5.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,35, 0,2, 0,1

σ =

6.ІмовірністьСкладна

Тестують 6 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,4. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?

n = 6p = 0,4

P =

7.Нормальний розподілСередня

Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Яка частка значень лежить між 169,95 і 185,35 cm? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 178σ = 7x₁ = 169,95x₂ = 185,35

P =

8.Нормальний розподілСкладна

бали за іспит нормально розподілені із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 5% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 65 балівσ = 10 балів5%

x = балів

9.Довірчі інтервалиСередня

99 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 50 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 7,2. Якою буде гранична похибка E₂ 95 % інтервалу за тими самими даними?

99%n₁ = 50E₁ = 7,295%

E₂ =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 12 ділянок, середній урожай 49 kg, стандартне відхилення 2 kg. Група ділянок 2: 9 ділянок, середнє 53 kg, стандартне відхилення 2 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 12x̄₁ = 49s₁ = 2n₂ = 9x̄₂ = 53s₂ = 299%t(19) = 2,861

нижня межа = kg

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 80; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 30. Випадкова вибірка з 100 спостережень має середнє 83,3. Перевірте H₀: μ = 80 проти H₁: μ > 80. Знайдіть p-значення p.

μ₀ = 80σ = 30n = 100x̄ = 83,3H₁: μ > μ₀

p =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

У випробуванні одужують 120 з 300 пацієнтів, які отримували лікування A, і 80 з 150 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 120n₁ = 300x₂ = 80n₂ = 150

z =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 5

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 15,5.

n = 6x = 15,5

ŷ =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Для критерію незалежності хі-квадрат знайдіть очікувану частоту E для клітинки «сільські, високий».

сума рядка = 61сума стовпця = 50N = 140

E =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій незалежності хі-квадрат застосовують до таблиці спряженості з 4 рядками й 4 стовпцями (без урахування підсумків). За таблицею знайдіть критичне значення χ²_crit при рівні значущості α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: D · Фіксацію кожного випадку певної поведінки

Чому це відповідь

Вибірка подій підраховує кожен випадок цільової поведінки. Часова вибірка фіксує, що відбувається через задані інтервали, як-от кожні 30 секунд.

Відповідь

D · Фіксацію кожного випадку певної поведінки

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: C · Як перевірку маніпуляції, щоб підтвердити, що НЗ спрацювала як задумано

Чому це відповідь

Перевірка маніпуляції підтверджує, що НЗ викликала задуманий психологічний стан. Без неї нульовий результат міг би означати, що маніпуляція не вдалася.

Відповідь

C · Як перевірку маніпуляції, щоб підтвердити, що НЗ спрацювала як задумано

3.Описова статистика

Відповідь: s = 13,22

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 190/7 = 27,14

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 13,86² + (−8,143)² + 3,857² + (−14,14)² + 20,86² + (−6,143)² + (−10,14)² = 1049

Стандартне відхилення

s = √(1049/6) = 13,22

Відповідь

s = 13,22

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,2743

Стандартизуйте

z = 0,6

Таблиця нормального розподілу

Φ(0,6) = 0,7257

P = 1 − 0,7257 = 0,2743

Відповідь

P = 0,2743

5.Імовірність

Відповідь: σ = 1,947

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,35 + 2·0,35 + 4·0,2 + 6·0,1 = 2,1

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,35 + 4·0,35 + 16·0,2 + 36·0,1 = 8,2

Дисперсія

Var(X) = 8,2 − 2,1² = 3,79

σ = √3,79 = 1,947

Відповідь

σ = 1,947

6.Імовірність

Відповідь: P = 0,2333

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Нуль і одна відмова

P(X = 0) = 0,6⁶ = 0,04666

P(X = 1) = 6·0,4·0,6⁵ = 0,1866

Додайте

P = 0,04666 + 0,1866 = 0,2333

Відповідь

P = 0,2333

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,7281

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (169,95 − 178)/7 = −1,15

z₂ = (185,35 − 178)/7 = 1,05

Площа між

P = Φ(1,05) − Φ(−1,15) = 0,8531 − 0,1251 = 0,7281

Відповідь

P = 0,7281

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 81,4 балів

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,95

z з таблиці

z ≈ 1,64

Назад до початкових одиниць

x = 65 + 1,64·10 = 81,4 балів

Відповідь

x = 81,4 балів

9.Довірчі інтервали

Відповідь: E₂ = 5,478

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Відношення похибок

E₂/E₁ = (1,96/2,576)·√(50/50) = 0,7609

Нова похибка

E₂ = 7,2·0,7609 = 5,478

Відповідь

E₂ = 5,478

10.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = −6,523 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (11·2² + 8·2²)/19 = 4

s_p = 2

Похибка оцінки

E = 2,861·2·√(1/12 + 1/9) = 2,523

Інтервал

−4 ± 2,523 → [−6,523, −1,477]

Відповідь

нижня межа = −6,523 kg

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: p = 0,1357

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерію

SE = σ/√n = 30/√100 = 3

z = (83,3 − 80)/3 = 1,1

Площа хвоста

Φ(1,1) = 0,8643

1 − Φ(1,1) = 0,1357

p-значення

p = 0,1357

Відповідь

p = 0,1357

p > 0,05, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 %.

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = −2,683

Вибіркові частки

p̂₁ = 120/300 = 0,4

p̂₂ = 80/150 = 0,5333

p̂ = 200/450 = 0,4444

Стандартна похибка за H₀

SE = √(0,4444·0,5556·(1/300 + 1/150)) = 0,04969

Статистика критерію

z = (0,4 − 0,5333)/0,04969 = −2,683

Відповідь

z = −2,683

|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9797

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 115/5 = 23

ȳ = 621/5 = 124,2

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 459

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2439

Коефіцієнт кореляції

r = 459/√(90·2439) = 0,9797

Відповідь

r = 0,9797

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 60,78

Середні

x̄ = 129/6 = 21,5

ȳ = 509/6 = 84,83

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 631,5

Лінія регресії

b = 631,5/157,5 = 4,01

a = 84,83 − 4,01·21,5 = −1,371

ŷ = −1,371 + 4,01·x

Прогноз

ŷ = −1,371 + 4,01·15,5 = 60,78

Відповідь

ŷ = 60,78

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: E = 21,79

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувана частота

E = 61·50/140 = 21,79

Відповідь

E = 21,79

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ²_crit = 16,92

Ступені вільності

df = (4 − 1)·(4 − 1) = 9

Таблиця

χ²_crit(df = 9, α = 0,05) = 16,919

Відповідь

χ²_crit = 16,919

Відхиліть H₀, якщо обчислене χ² більше за це значення.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology