Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Помилка I роду виникає, коли дослідник:

AЗбирає забагато даних
BВикористовує не той статистичний тест
CНе відхиляє хибну нульову гіпотезу
DВідхиляє нульову гіпотезу, яка насправді правдива

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Однофакторний ANOVA, що порівнює чотири групи, значущий. Що дослідник має зробити далі, щоб з'ясувати, які групи відрізняються?

AПодати результат як кореляцію
BПровести post hoc тести, як-от HSD Тьюкі
CЗробити висновок, що всі чотири групи відрізняються одна від одної
DПровести тест хі-квадрат для середніх

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 40, 37, 33, 14, 44, 20, 39.

n = 7

s =

4.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 8. Знайдіть z-оцінку z для результату 76.

μ = 60σ = 8x = 76

z =

5.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,3, 0,3, 0,05

σ =

6.ІмовірністьСкладна

Тест має 8 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,3, незалежно. Яка ймовірність P рівно 3 правильних відповідей?

n = 8p = 0,3k = 3

P =

7.Нормальний розподілСередня

Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Яка частка значень лежить між 468 і 548 h? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 500σ = 40x₁ = 468x₂ = 548

P =

8.Нормальний розподілСкладна

Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 20 % значень (20-й процентиль).

μ = 65σ = 10P = 20%

x = балів

9.Довірчі інтервалиСередня

Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 30 телефонів, середнє 41 h, відоме стандартне відхилення 9 h. Модель 2: 50 телефонів, середнє 27 h, відоме стандартне відхилення 4 h. Знайдіть граничну похибку E 95 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 30x̄₁ = 41 hσ₁ = 9 hn₂ = 50x̄₂ = 27 hσ₂ = 4 h95%

E = h

10.Довірчі інтервалиСкладна

Пілотне дослідження показує, що бракованими є приблизно 0,15 виробів. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 90 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,05?

p ≈ 0,15E = 0,0590%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Порівнюють два методи навчання. Група 1: 11 студентів, середній бал 91,5, стандартне відхилення 5,5. Група 2: 15 студентів, середній бал 94,7, стандартне відхилення 6. Вважайте дисперсії генеральних сукупностей рівними й використайте двовибірковий t-критерій з об’єднаною дисперсією. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (група 1 мінус група 2).

n₁ = 11x̄₁ = 91,5s₁ = 5,5n₂ = 15x̄₂ = 94,7s₂ = 6

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 16 вимірювань має середнє 194,6. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 8. Знайдіть нижню межу L 90 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 194,6σ = 8n = 1690%

L =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 6

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (7, 53). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 5(7, 53)

e =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Для критерію незалежності хі-квадрат знайдіть очікувану частоту E для клітинки «працівники, автобус».

сума рядка = 65сума стовпця = 55N = 114

E =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій незалежності хі-квадрат застосовують до таблиці спряженості з 2 рядками й 5 стовпцями (без урахування підсумків). За таблицею знайдіть критичне значення χ²_crit при рівні значущості α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: D · Відхиляє нульову гіпотезу, яка насправді правдива

Чому це відповідь

Помилка I роду стверджує ефект, якого немає. Її ймовірність дорівнює рівню значущості (часто 0,05). Помилка II роду — пропуск справжнього ефекту.

Відповідь

D · Відхиляє нульову гіпотезу, яка насправді правдива

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: B · Провести post hoc тести, як-от HSD Тьюкі

Чому це відповідь

Значущий F показує, що не всі середні рівні. Post hoc тести чи заплановані контрасти визначають, які пари відрізняються, контролюючи рівень помилок.

Відповідь

B · Провести post hoc тести, як-от HSD Тьюкі

3.Описова статистика

Відповідь: s = 11,18

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 227/7 = 32,43

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 7,571² + 4,571² + 0,5714² + (−18,43)² + 11,57² + (−12,43)² + 6,571² = 749,7

Стандартне відхилення

s = √(749,7/6) = 11,18

Відповідь

s = 11,18

4.Описова статистика

Відповідь: z = 2

Стандартизуйте

z = (76 − 60)/8 = 2

Відповідь

z = 2

5.Імовірність

Відповідь: σ = 1,841

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,35 + 2·0,3 + 4·0,3 + 6·0,05 = 2,1

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,35 + 4·0,3 + 16·0,3 + 36·0,05 = 7,8

Дисперсія

Var(X) = 7,8 − 2,1² = 3,39

σ = √3,39 = 1,841

Відповідь

σ = 1,841

6.Імовірність

Відповідь: P = 0,2541

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Біноміальна формула

P(X = 3) = 56·0,3³·0,7⁵ = 56·0,027·0,1681 = 0,2541

Відповідь

P = 0,2541

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,6731

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (468 − 500)/40 = −0,8

z₂ = (548 − 500)/40 = 1,2

Площа між

P = Φ(1,2) − Φ(−0,8) = 0,8849 − 0,2119 = 0,6731

Відповідь

P = 0,6731

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 56,58 балів

z для процентиля

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Назад до x

x = 65 + −0,8416·10 = 56,58 балів

Відповідь

x = 56,58 балів

9.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 3,406 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точкова оцінка

x̄₁ − x̄₂ = 41 − 27 = 14

Стандартна похибка

SE = √(9²/30 + 4²/50) = 1,738

Похибка оцінки

E = 1,96·1,738 = 3,406

Відповідь

E = 3,406 h

Інтервал не містить 0, тож середні значуще відрізняються.

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 139

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Виразіть n

n = 1,645²·0,15·0,85/0,05² = 138

Округліть угору

n = 139

Відповідь

n = 139

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −1,391

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Об’єднана дисперсія

s_p² = (10·5,5² + 14·6²)/24 = 33,6

s_p = 5,797

Стандартна похибка

SE = 5,797·√(1/11 + 1/15) = 2,301

Статистика критерію

t = (91,5 − 94,7)/2,301 = −1,391

Відповідь

t = −1,391

При df = 24 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,064; |t| менше, тож H₀ не відхиляється.

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: L = 191,3

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Похибка оцінки

E = 1,645·8/√16 = 3,29

Межа інтервалу

L = 194,6 − 3,29 = 191,3

Відповідь

L = 191,3

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9829

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 132/6 = 22

ȳ = 357/6 = 59,5

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 229

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 775,5

Коефіцієнт кореляції

r = 229/√(70·775,5) = 0,9829

Відповідь

r = 0,9829

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = −1,5

Середні

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 254/5 = 50,8

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 148

Лінія регресії

b = 148/40 = 3,7

a = 50,8 − 3,7·6 = 28,6

ŷ = 28,6 + 3,7·x

Прогнозоване значення

ŷ = 28,6 + 3,7·7 = 54,5

Залишок

e = 53 − 54,5 = −1,5

Відповідь

e = −1,5

Точка лежить нижче прямої.

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: E = 31,36

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувана частота

E = 65·55/114 = 31,36

Відповідь

E = 31,36

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ²_crit = 9,488

Ступені вільності

df = (2 − 1)·(5 − 1) = 4

Таблиця

χ²_crit(df = 4, α = 0,05) = 9,488

Відповідь

χ²_crit = 9,488

Відхиліть H₀, якщо обчислене χ² більше за це значення.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology