Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Публікаційне упередження означає:

AЩо дослідники публікують те саме дослідження двічі
BЩо журнали публікують лише якісні дослідження
CЩо рецензенти віддають перевагу роботам авторів із відомих університетів порівняно з менш відомими
DЩо дослідження зі значущими результатами публікують частіше, ніж з нульовими

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Дослідниця порівнює три чи більше групових середніх. Чому вона використовує однофакторний дисперсійний аналіз, а не кілька t-тестів?

At-тести не працюють із числами понад 100
BДисперсійний аналіз завжди знаходить більші ефекти, ніж еквівалентний набір t-тестів
CКілька t-тестів роздувають загальну ймовірність помилки I роду
Dt-тестам потрібні якісні дані

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 56, 55, 43, 54, 44, 45, 53.

n = 7

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 12. Яка частка P значень більша за 155,6?

μ = 170σ = 12x = 155,6

P =

5.ІмовірністьСередня

Правильний кубик кидають 3 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?

n = 3

P =

6.ІмовірністьСкладна

Тест має 11 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,3, незалежно. Яка ймовірність P рівно 2 правильних відповідей?

n = 11p = 0,3k = 2

P =

7.Нормальний розподілСередня

Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Яка частка значень лежить між 76,75 і 130 балів? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 100σ = 15x₁ = 76,75x₂ = 130

P =

8.Нормальний розподілСкладна

Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 20 % значень (20-й процентиль).

μ = 100σ = 15P = 20%

x = балів

9.Довірчі інтервалиСередня

99 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 64 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 2,9. Якою буде гранична похибка E₂, якщо в тому самому дослідженні використати 128 спостережень?

99%n₁ = 64E₁ = 2,9n₂ = 128

E₂ =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 10 ділянок, середній урожай 41 kg, стандартне відхилення 1 kg. Група ділянок 2: 6 ділянок, середнє 47,5 kg, стандартне відхилення 9 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть нижню межу 90 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 10x̄₁ = 41s₁ = 1n₂ = 6x̄₂ = 47,5s₂ = 990%t(14) = 1,761

нижня межа = kg

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 100 деталей має середню довжину 50,5 mm, відоме стандартне відхилення лінії 15 mm. Лінія 2: вибірка з 50 деталей має середнє 44,9 mm, відоме стандартне відхилення 18 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).

n₁ = 100x̄₁ = 50,5 mmσ₁ = 15 mmn₂ = 50x̄₂ = 44,9 mmσ₂ = 18 mm

z =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Якою має бути вибірка, щоб 90 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 1,5? Стандартне відхилення — 10. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.

σ = 10E = 1,590%

n =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 5Σx = 30Σy = 118Σx² = 220Σy² = 3514Σxy = 878

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 40?

n = 5ŷ = 40

x =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 1602 × 2

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій узгодженості хі-квадрат порівнює спостережувані частоти в 11 категоріях з повністю заданими очікуваними частками (жодних параметрів з даних не оцінюють). За таблицею знайдіть критичне значення χ²_crit при рівні значущості α = 0,01.

α = 0,01

χ²_crit =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: D · Що дослідження зі значущими результатами публікують частіше, ніж з нульовими

Чому це відповідь

Коли незначущі дослідження залишаються в шухлядах, опублікована література переоцінює розміри ефектів, що спотворює метааналізи.

Відповідь

D · Що дослідження зі значущими результатами публікують частіше, ніж з нульовими

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: C · Кілька t-тестів роздувають загальну ймовірність помилки I роду

Чому це відповідь

Багато попарних тестів множать шанс хибнопозитивного результату. ANOVA перевіряє всі групи разом, після чого виконують скориговані post hoc тести.

Відповідь

C · Кілька t-тестів роздувають загальну ймовірність помилки I роду

3.Описова статистика

Відповідь: s = 5,715

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 350/7 = 50

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 6² + 5² + (−7)² + 4² + (−6)² + (−5)² + 3² = 196

Стандартне відхилення

s = √(196/6) = 5,715

Відповідь

s = 5,715

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,8849

Стандартизуйте

z = −1,2

Таблиця нормального розподілу

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 1 − 0,1151 = 0,8849

Відповідь

P = 0,8849

5.Імовірність

Відповідь: P = 0,4213

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Протилежна подія

P(немає шістки) = (5/6)³ = 0,5787

P = 1 − 0,5787 = 0,4213

Відповідь

P = 0,4213

6.Імовірність

Відповідь: P = 0,1998

Біноміальна формула

P(X = 2) = 55·0,3²·0,7⁹ = 55·0,09·0,04035 = 0,1998

Відповідь

P = 0,1998

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9167

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (76,75 − 100)/15 = −1,55

z₂ = (130 − 100)/15 = 2

Площа між

P = Φ(2) − Φ(−1,55) = 0,9772 − 0,06057 = 0,9167

Відповідь

P = 0,9167

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 87,38 балів

z для процентиля

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Назад до x

x = 100 + −0,8416·15 = 87,38 балів

Відповідь

x = 87,38 балів

9.Довірчі інтервали

Відповідь: E₂ = 2,051

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Відношення похибок

E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(64/128) = 0,7071

Нова похибка

E₂ = 2,9·0,7071 = 2,051

Відповідь

E₂ = 2,051

10.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = −11,45 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (9·1² + 5·9²)/14 = 29,57

s_p = 5,438

Похибка оцінки

E = 1,761·5,438·√(1/10 + 1/6) = 4,945

Інтервал

−6,5 ± 4,945 → [−11,45, −1,555]

Відповідь

нижня межа = −11,45 kg

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = 1,895

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартна похибка різниці

SE = √(15²/100 + 18²/50) = √8,73 = 2,955

Статистика критерію

z = (50,5 − 44,9)/2,955 = 1,895

Відповідь

z = 1,895

|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 121

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Виразіть n

n = (1,645·10/1,5)² = 120,3

Округліть угору

n = 121

Відповідь

n = 121

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9954

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 878 − 30·118/5 = 170

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 3514 − 118²/5 = 729,2

Коефіцієнт кореляції

r = 170/√(40·729,2) = 0,9954

Відповідь

r = 0,9954

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 15,05

Середні

x̄ = 90/5 = 18

ȳ = 262/5 = 52,4

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 168

Лінія регресії

b = 168/40 = 4,2

a = 52,4 − 4,2·18 = −23,2

ŷ = −23,2 + 4,2·x

Розв’яжіть щодо x

x = (40 − (−23,2))/4,2 = 15,05

Відповідь

x = 15,05

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 17,73

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

чоловіки: 120·56/160 = 42, 120·104/160 = 78

жінки: 40·56/160 = 14, 40·104/160 = 26

Статистика хі-квадрат

χ² = (31 − 42)²/42 + (89 − 78)²/78 + (25 − 14)²/14 + (15 − 26)²/26

χ² = 17,73

Відповідь

χ² = 17,73

df = 1. При α = 0,05 критичне значення 3,841, тож H₀ (незалежність) відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ²_crit = 23,21

Ступені вільності

df = 11 − 1 = 10

Таблиця

χ²_crit(df = 10, α = 0,01) = 23,209

Відповідь

χ²_crit = 23,209

Відхиліть H₀, якщо обчислене χ² більше за це значення.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology