Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє
x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана
серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл
68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія
P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Менше за x
P(X < x) = Φ(z)
Більше за x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
  2. Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
  3. Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
  4. Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме
x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
  2. Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
  3. Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
  4. Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для середнього
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%
відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
  2. Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
  3. Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
  4. Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил
b = Sxy/Sxx
Вільний член
a = ȳ − b·x̄
Кореляція
r = Sxy/√(SxxSyy)
Залишок
e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію
χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit)
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення
відхилити H0, якщо χ² > χ²crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

У контент-аналізі надійність між оцінювачами перевіряють так:

  1. AДвоє дослідників кодують той самий матеріал, і результати порівнюють
  2. BВикористовують більшу вибірку матеріалів
  3. CМатеріал кодують двічі за один день
  4. DЗапитують учасників згодом, чи правильне кодування їхнього матеріалу дослідником
2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Дослідник вимірює вплив шуму на концентрацію. Учасників в умові шуму випадково тестували вранці, а в умові тиші — вдень. У чому проблема?

  1. AЧас доби — змішувальна змінна
  2. BДослідження має забагато умов
  3. CДані номінального рівня
  4. DЧас доби — залежна змінна
3.Описова статистикаСередня
1520253035404550

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 27, 14, 27, 21, 54.

n = 5
s =
4.Описова статистикаСкладна
z −2−1012

Величина розподілена нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 50. Яка частка P значень менша за 520?

μ = 500σ = 50x = 520
P =
5.ІмовірністьСередня
червоні: 8сині: 3

У мішечку 8 червоних і 3 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?

8 / 3
P =
6.ІмовірністьСкладна
n = 7, p = 0,1: P(X ≤ 1) = ?k01234567

Тестують 7 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,1. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?

n = 7p = 0,1
P =
7.Нормальний розподілСередня
−3−2−10123zзаштрихована площа праворуч від z = 0,0322

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,0322. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,0322
z =
8.Нормальний розподілСкладна
557085100115130145балівниз 70%

результати IQ-тестів нормально розподілені із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 70% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 100 балівσ = 15 балів70%
x = балів
9.Довірчі інтервалиСередня
x̄E₁ = 11,795%, n = 36x̄E₂ = ?95%, n = 72

95 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 36 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 11,7. Якою буде гранична похибка E₂, якщо в тому самому дослідженні використати 72 спостережень?

95%n₁ = 36E₁ = 11,7n₂ = 72
E₂ =
10.Довірчі інтервалиСкладна
σ = 40, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 399%

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 40. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 3?

σ = 40E = 399%
n =
11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
t −1,98401,984

Вибірка з 100 студентів має середній бал 101,4 і вибіркове стандартне відхилення 12. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 101,4s = 12n = 100
t =
12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
z −2,57602,576

Вибірка з 100 вимірювань має середнє 201,8. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 8. Знайдіть верхню межу U 99 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 201,8σ = 8n = 10099%
U =
13.Лінійна регресія та кореляціяСередня
xy255366473579691xy2466080

Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 5
r =
14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
xy255353462568677xy2466070x = 2,5

Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 2,5.

n = 5x = 2,5
ŷ =
15.Критерії хі-квадратСередня
без дефектунезначнийзначнийРазомденна зміна1123640нічна зміна13313680Разом245442120

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 1202 × 3
χ² =
16.Критерії хі-квадратСкладна
такніРазомлінія 1453580лінія 2631780лінія 34852100Разом156104260dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Таблиця містить спостережувані частоти. Перевірте при α = 0,05, чи дві змінні незалежні (без поправки на неперервність). Обчисліть статистику критерію χ², а потім порівняйте її з критичним значенням з таблиці.

N = 2603 × 2α = 0,05
χ² =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Двоє дослідників кодують той самий матеріал, і результати порівнюють

Чому це відповідь

Якщо незалежні кодувальники присвоюють тим самим даним подібні коди (висока узгодженість чи кореляція), схема кодування надійна.

Відповідь

A · Двоє дослідників кодують той самий матеріал, і результати порівнюють
2.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Час доби — змішувальна змінна

Чому це відповідь

Оскільки шум і час тестування змінюються разом, будь-яка відмінність може бути зумовлена будь-яким із них. Випадковий розподіл часу тестування чи фіксація часу усунули б змішування.

Відповідь

A · Час доби — змішувальна змінна
3.Описова статистика

Відповідь: s = 15,18

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 143/5 = 28,6

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−1,6)² + (−14,6)² + (−1,6)² + (−7,6)² + 25,4² = 921,2

Стандартне відхилення

s = √(921,2/4) = 15,18

Відповідь

s = 15,18
4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,6554

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Стандартизуйте

z = 0,4

Таблиця нормального розподілу

Φ(0,4) = 0,6554
P = 0,6554

Відповідь

P = 0,6554
5.Імовірність

Відповідь: P = 0,5091

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Перше і друге витягування

P = 8/11 · 7/10 = 56/110 = 0,5091

Відповідь

P = 0,5091
6.Імовірність

Відповідь: P = 0,8503

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Нуль і одна відмова

P(X = 0) = 0,97 = 0,4783
P(X = 1) = 7·0,1·0,96 = 0,372

Додайте

P = 0,4783 + 0,372 = 0,8503

Відповідь

P = 0,8503
7.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 1,85

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = 1 − 0,0322 = 0,9678

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,9678 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 1,85

Відповідь

z = 1,85
8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 107,8 балів

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,7

z з таблиці

z ≈ 0,52

Назад до початкових одиниць

x = 100 + 0,52·15 = 107,8 балів

Відповідь

x = 107,8 балів
9.Довірчі інтервали

Відповідь: E₂ = 8,273

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Відношення похибок

E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(36/72) = 0,7071

Нова похибка

E₂ = 11,7·0,7071 = 8,273

Відповідь

E₂ = 8,273
10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 1180

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (2,576·40/3)² = 1180

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 1180

Відповідь

n = 1180
11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 1,167

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 12/√100 = 12/10 = 1,2

Статистика критерію

t = (101,4 − 100)/1,2 = 1,167

Відповідь

t = 1,167
t0,025; df = 99 = 1,984

|t| < 1.984, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: U = 203,9

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Похибка оцінки

E = 2,576·8/√100 = 2,061

Межа інтервалу

U = 201,8 + 2,061 = 203,9

Відповідь

U = 203,9
13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9929

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 364/5 = 72,8

Суми квадратів і добутків

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 85
Syy = Σ(y − ȳ)² = 732,8

Коефіцієнт кореляції

r = 85/√(10·732,8) = 0,9929

Відповідь

r = 0,9929
14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 54,15

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 315/5 = 63

Суми квадратів і добутків

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 59

Лінія регресії

b = 59/10 = 5,9
a = 63 − 5,9·4 = 39,4
ŷ = 39,4 + 5,9·x

Прогноз

ŷ = 39,4 + 5,9·2,5 = 54,15

Відповідь

ŷ = 54,15
15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 10,63

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

денна зміна: 40·24/120 = 8, 40·54/120 = 18, 40·42/120 = 14
нічна зміна: 80·24/120 = 16, 80·54/120 = 36, 80·42/120 = 28

Статистика хі-квадрат

χ² = (11 − 8)²/8 + (23 − 18)²/18 + (6 − 14)²/14 + (13 − 16)²/16 + (31 − 36)²/36 + (36 − 28)²/28
χ² = 10,63

Відповідь

χ² = 10,63

df = 2. При α = 0,05 критичне значення 5,991, тож H₀ (незалежність) відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 18,19

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

лінія 1: 48, 32
лінія 2: 48, 32
лінія 3: 60, 40

Статистика хі-квадрат

χ² = (45 − 48)²/48 + (35 − 32)²/32 + (63 − 48)²/48 + (17 − 32)²/32 + (48 − 60)²/60 + (52 − 40)²/40
χ² = 18,19

Рішення

df = 2, χ²crit = 5,991
18,19 > 5,991

Відповідь

χ² = 18,19

χ² вище за критичне значення, тож H₀ відхиляється: змінні, схоже, пов’язані.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology