Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Екологічна валідність означає:

AНаскільки результати узагальнюються на реальні життєві ситуації
BЧи передбачає тест майбутню поведінку
CНаскільки тест узгоджений у часі
DЧи виглядає тест так, ніби вимірює потрібне

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Учасник приймає препарат або цукрову пігулку, але не знає, що саме, а дослідник знає. Що це за дизайн і яке упередження залишається можливим?

AОдинарний сліпий; упередженість експериментатора ще можлива
BВідкрите випробування; ефекти плацебо повністю контрольовано
CОдинарний сліпий; вимоги ситуації неможливі
DПодвійний сліпий; жодне упередження неможливе

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 20, 39, 40, 40, 37, 13, 18.

n = 7

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 20. Яка частка P значень більша за 76?

μ = 100σ = 20x = 76

P =

5.ІмовірністьСередня

У мішечку 7 червоних і 4 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?

7 / 4

P =

6.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = 0,5X − 3. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,05, 0,35, 0,3Y = 0,5X − 3

σ_Y =

7.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,1922. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,1922

z =

8.Нормальний розподілСкладна

Нехай тривалості доставки розподілені нормально із середнім 32 min і стандартним відхиленням 6 min. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 95 % значень (95-й процентиль).

μ = 32σ = 6P = 95%

x = min

9.Довірчі інтервалиСередня

99 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 100 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 5,7. Якою буде гранична похибка E₂ 95 % інтервалу за тими самими даними?

99%n₁ = 100E₁ = 5,795%

E₂ =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 6 ділянок, середній урожай 34 kg, стандартне відхилення 10 kg. Група ділянок 2: 6 ділянок, середнє 33 kg, стандартне відхилення 7 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 6x̄₁ = 34s₁ = 10n₂ = 6x̄₂ = 33s₂ = 799%t(10) = 3,169

нижня межа = kg

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Порівнюють два методи навчання. Група 1: 10 студентів, середній бал 38,5, стандартне відхилення 8. Група 2: 12 студентів, середній бал 44,7, стандартне відхилення 3. Вважайте дисперсії генеральних сукупностей рівними й використайте двовибірковий t-критерій з об’єднаною дисперсією. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (група 1 мінус група 2).

n₁ = 10x̄₁ = 38,5s₁ = 8n₂ = 12x̄₂ = 44,7s₂ = 3

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Якою має бути вибірка, щоб 95 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 1,5? Стандартне відхилення — 8. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.

σ = 8E = 1,595%

n =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 6

r² =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (17, 44). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 6(17, 44)

e =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Для критерію незалежності хі-квадрат знайдіть очікувану частоту E для клітинки «сільські, середній».

сума рядка = 67сума стовпця = 53N = 152

E =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Таблиця містить спостережувані частоти. Перевірте при α = 0,01, чи дві змінні незалежні (без поправки на неперервність). Обчисліть статистику критерію χ², а потім порівняйте її з критичним значенням з таблиці.

N = 2003 × 2α = 0,01

χ² =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Наскільки результати узагальнюються на реальні життєві ситуації

Чому це відповідь

Екологічна валідність стосується того, чи застосовні результати до повсякденних ситуацій. Суворо контрольовані лабораторні дослідження часто мають її низькою.

Відповідь

A · Наскільки результати узагальнюються на реальні життєві ситуації

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Одинарний сліпий; упередженість експериментатора ще можлива

Чому це відповідь

В одинарному сліпому дизайні учасники не знають своєї умови, що контролює очікування плацебо. Знання дослідника однаково може впливати на результати, тому перевагу віддають подвійним сліпим дизайнам.

Відповідь

A · Одинарний сліпий; упередженість експериментатора ще можлива

3.Описова статистика

Відповідь: s = 11,98

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 207/7 = 29,57

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−9,571)² + 9,429² + 10,43² + 10,43² + 7,429² + (−16,57)² + (−11,57)² = 861,7

Стандартне відхилення

s = √(861,7/6) = 11,98

Відповідь

s = 11,98

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,8849

Стандартизуйте

z = −1,2

Таблиця нормального розподілу

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 1 − 0,1151 = 0,8849

Відповідь

P = 0,8849

5.Імовірність

Відповідь: P = 0,3818

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Перше і друге витягування

P = 7/11 · 6/10 = 42/110 = 0,3818

Відповідь

P = 0,3818

6.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 0,5974

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Розкид X

μ = 2,65, Var(X) = 1,428, σ_X = 1,195

Лінійна зміна

σ_Y = |0,5|·1,195 = 0,5974

Відповідь

σ_Y = 0,5974

Середнє таки зсувається: E(Y) = 0,5·2,65 − 3 = −1,675.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 0,87

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = 1 − 0,1922 = 0,8078

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,8078 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 0,87

Відповідь

z = 0,87

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 41,87 min

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Назад до x

x = 32 + 1,645·6 = 41,87 min

Відповідь

x = 41,87 min

9.Довірчі інтервали

Відповідь: E₂ = 4,337

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Відношення похибок

E₂/E₁ = (1,96/2,576)·√(100/100) = 0,7609

Нова похибка

E₂ = 5,7·0,7609 = 4,337

Відповідь

E₂ = 4,337

10.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = −14,79 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (5·10² + 5·7²)/10 = 74,5

s_p = 8,631

Похибка оцінки

E = 3,169·8,631·√(1/6 + 1/6) = 15,79

Інтервал

1 ± 15,79 → [−14,79, 16,79]

Відповідь

нижня межа = −14,79 kg

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −2,492

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Об’єднана дисперсія

s_p² = (9·8² + 11·3²)/20 = 33,75

s_p = 5,809

Стандартна похибка

SE = 5,809·√(1/10 + 1/12) = 2,487

Статистика критерію

t = (38,5 − 44,7)/2,487 = −2,492

Відповідь

t = −2,492

При df = 20 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,086; |t| більше, тож H₀ відхиляється.

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 110

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Виразіть n

n = (1,96·8/1,5)² = 109,3

Округліть угору

n = 110

Відповідь

n = 110

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9887

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 124/6 = 20,67

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 220

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 699,3

Коефіцієнт детермінації

r² = 220²/(70·699,3) = 0,9887

Відповідь

r² = 0,9887

Близько 98,87% варіації y пояснюється прямою.

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = −4,01

Середні

x̄ = 126/6 = 21

ȳ = 334/6 = 55,67

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 134

Лінія регресії

b = 134/70 = 1,914

a = 55,67 − 1,914·21 = 15,47

ŷ = 15,47 + 1,914·x

Прогнозоване значення

ŷ = 15,47 + 1,914·17 = 48,01

Залишок

e = 44 − 48,01 = −4,01

Відповідь

e = −4,01

Точка лежить нижче прямої.

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: E = 23,36

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувана частота

E = 67·53/152 = 23,36

Відповідь

E = 23,36

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 9,974

Очікувані частоти

вік 18–30: 64, 16

вік 31–50: 48, 12

вік 51+: 48, 12

Статистика хі-квадрат

χ² = (61 − 64)²/64 + (19 − 16)²/16 + (43 − 48)²/48 + (17 − 12)²/12 + (56 − 48)²/48 + (4 − 12)²/12

χ² = 9,974

Рішення

df = 2, χ²_crit = 9,210

9,974 > 9,210

Відповідь

χ² = 9,974

χ² вище за критичне значення, тож H₀ відхиляється: змінні, схоже, пов’язані.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology