Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Тест настільки легкий, що майже всі учасники набирають бали, близькі до максимуму. Це називають:

AЕфектом практики
BЕфектом стелі
CЕфектом порядку
DЕфектом підлоги

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Дослідник збирає дані в дев'яти часових точках і щоразу тестує на рівні 5% без корекції. У чому проблема?

AЙмовірність хоча б одного хибнопозитивного результату значно перевищує 5%
BРозмір ефекту зменшується з кожним тестом
CДані щоразу стають надійнішими, тож останній тест найточніший
DТакий підхід не має проблем

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 52, 11, 57, 44, 33, 55.

n = 6

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 25. Яка частка P значень менша за 525?

μ = 500σ = 25x = 525

P =

5.ІмовірністьСередня

Правильний кубик кидають 2 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?

n = 2

P =

6.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = 3X + 4. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3Y = 3X + 4

σ_Y =

7.Нормальний розподілСередня

X нормальна із середнім 250 g і середнім квадратичним відхиленням 4 g; Y незалежна й нормальна із середнім 500 g і середнім квадратичним відхиленням 9 g. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 740,2 g. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 740,2 g

P =

8.Нормальний розподілСкладна

Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 99 % значень (99-й процентиль).

μ = 100σ = 15P = 99%

x = балів

9.Довірчі інтервалиСередня

90 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 25 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 3,3. Якою буде гранична похибка E₂, якщо в тому самому дослідженні використати 100 спостережень?

90%n₁ = 25E₁ = 3,3n₂ = 100

E₂ =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 18. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 4?

σ = 18E = 499%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

16 працівників проходять тест на швидкість друку до й після навчального курсу. Для кожного записують різницю d = після − до (слів за хвилину). Середня різниця 3,7, стандартне відхилення різниць 5,1. Знайдіть статистику парного критерію t для H₀: μ_d = 0.

n = 16d̄ = 3,7s_d = 5,1

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій для H₀: μ = 500 проти H₁: μ < 500 виконують на рівні α = 0.10 за вибіркою обсягом 36; стандартне відхилення відоме й дорівнює 12. Насправді середнє дорівнює 494.2. Знайдіть імовірність помилки другого роду β у відсотках.

μ₀ = 500μ = 494,2σ = 12n = 36α = 0,10

β = %

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 6Σx = 42Σy = 186Σx² = 364Σy² = 6962Σxy = 1590

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 3,5.

n = 5x = 3,5

ŷ =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 2002 × 2

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій узгодженості хі-квадрат порівнює спостережувані частоти в 8 категоріях з повністю заданими очікуваними частками (жодних параметрів з даних не оцінюють). Скільки ступенів вільності df має критерій?

k = 8

df =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: B · Ефектом стелі

Чому це відповідь

Ефекти стелі приховують відмінності між умовами, бо ніхто не може набрати більше. Ефекти підлоги — протилежність, коли завдання надто складне.

Відповідь

B · Ефектом стелі

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Ймовірність хоча б одного хибнопозитивного результату значно перевищує 5%

Чому це відповідь

При дев'яти незалежних тестах імовірність хоча б однієї помилки I роду становить приблизно 1 − 0,95⁹ ≈ 37%. Для цього застосовують корекції, як-от Бонферроні.

Відповідь

A · Ймовірність хоча б одного хибнопозитивного результату значно перевищує 5%

3.Описова статистика

Відповідь: s = 17,55

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 252/6 = 42

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 10² + (−31)² + 15² + 2² + (−9)² + 13² = 1540

Стандартне відхилення

s = √(1540/5) = 17,55

Відповідь

s = 17,55

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,8413

Стандартизуйте

z = 1

Таблиця нормального розподілу

Φ(1) = 0,8413

P = 0,8413

Відповідь

P = 0,8413

5.Імовірність

Відповідь: P = 0,3056

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Протилежна подія

P(немає шістки) = (5/6)² = 0,6944

P = 1 − 0,6944 = 0,3056

Відповідь

P = 0,3056

6.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 2,414

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Розкид X

μ = 0,95, Var(X) = 0,6475, σ_X = 0,8047

Лінійна зміна

σ_Y = |3|·0,8047 = 2,414

Відповідь

σ_Y = 2,414

Середнє таки зсувається: E(Y) = 3·0,95 + 4 = 6,85.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,8413

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Стандартизуйте

z = (740,2 − 750)/9,849 = −1

Верхній хвіст

P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0,1587 = 0,8413

Відповідь

P = 0,8413

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 134,9 балів

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Назад до x

x = 100 + 2,326·15 = 134,89 балів

Відповідь

x = 134,89 балів

9.Довірчі інтервали

Відповідь: E₂ = 1,65

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Відношення похибок

E₂/E₁ = (1,645/1,645)·√(25/100) = 0,5

Нова похибка

E₂ = 3,3·0,5 = 1,65

Відповідь

E₂ = 1,65

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 135

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (2,576·18/4)² = 134,4

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 135

Відповідь

n = 135

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 2,902

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Стандартна похибка середньої різниці

SE = 5,1/√16 = 1,275

Статистика критерію

t = 3,7/1,275 = 2,902

Відповідь

t = 2,902

При df = 15 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,131; |t| більше, тож H₀ відхиляється.

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: β = 5,283 %

Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критичне вибіркове середнє

SE = 12/√36 = 2

x̄_c = 500 − 1,282·2 = 497,4

z при справжньому середньому

z = (497,4 − 494,2)/2 = 1,618

Помилка другого роду

потужність = P(Z < 1.618) = 94.72%

β = 100% − 94,72% = 5,283%

Відповідь

β = 5,283%

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9954

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 1590 − 42·186/6 = 288

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 6962 − 186²/6 = 1196

Коефіцієнт кореляції

r = 288/√(70·1196) = 0,9954

Відповідь

r = 0,9954

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 22,8

Середні

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 119/5 = 23,8

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −20

Лінія регресії

b = −20/10 = −2

a = 23,8 − (−2)·3 = 29,8

ŷ = 29,8 − 2·x

Прогноз

ŷ = 29,8 + (−2)·3,5 = 22,8

Відповідь

ŷ = 22,8

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 1,465

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

курці: 80·70/200 = 28, 80·130/200 = 52

некурці: 120·70/200 = 42, 120·130/200 = 78

Статистика хі-квадрат

χ² = (32 − 28)²/28 + (48 − 52)²/52 + (38 − 42)²/42 + (82 − 78)²/78

χ² = 1,465

Відповідь

χ² = 1,465

df = 1. При α = 0,05 критичне значення 3,841, тож H₀ (незалежність) не відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: df = 7

Ступені вільності

df = 8 − 1 = 7

Відповідь

df = 7

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology