Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

У дослідженнях методом спостереження вибірка подій (event sampling) означає:

AФіксацію поведінки лише через фіксовані проміжки часу
BВипадковий вибір учасників
CФіксацію кожного випадку певної поведінки
DФіксацію лише тих подій, про які повідомляють учасники

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Дослідник проводить 20 аналізів на одному наборі даних і повідомляє лише про той, де p < 0,05. Цю практику називають:

AПопередньою реєстрацією
BP-hacking
CТріангуляцією
DКонтрбалансуванням

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 43, 26, 34, 50, 56, 44, 28.

n = 7

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 60. Яка частка P значень менша за 452?

μ = 500σ = 60x = 452

P =

5.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35

σ =

6.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = 2X + 4. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,25, 0,35, 0,05, 0,1Y = 2X + 4

σ_Y =

7.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,3520. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,3520

z =

8.Нормальний розподілСкладна

Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 5 % значень (5-й процентиль).

μ = 100σ = 15P = 5%

x = балів

9.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 10 елементів має середнє 11,5 і стандартне відхилення s = 19,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 10x̄ = 11,5s = 19,599%t(9) = 3,25

нижня межа =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Діаметри 11 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 2,3 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: верхня межа σ. При df = 10 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 3,247 і 2,5 % — вище від 20,483.

n = 11s = 2,3 µmχ² = 3,247, 20,483

σ = µm

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 36 студентів має середній бал 52,4 і вибіркове стандартне відхилення 12. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 52,4s = 12n = 36

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій на рівні α = 0,01 має виявляти зсув середнього на 3 одиниць із потужністю 80 %. Стандартне відхилення 13. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.

α = 0,01потужність = 80%δ = 3σ = 13z_α = 2,326z_β = 0,842

n =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 6

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (20,5, 103). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 5(20,5, 103)

e =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Для критерію незалежності хі-квадрат знайдіть очікувану частоту E для клітинки «міські, високий».

сума рядка = 101сума стовпця = 44N = 174

E =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій узгодженості хі-квадрат перевіряє, чи частоти в 6 категоріях відповідають розподілу Пуассона, середнє якого оцінено з тих самих даних. За таблицею знайдіть критичне значення χ²_crit при рівні значущості α = 0,01.

α = 0,01

χ²_crit =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: C · Фіксацію кожного випадку певної поведінки

Чому це відповідь

Вибірка подій підраховує кожен випадок цільової поведінки. Часова вибірка фіксує, що відбувається через задані інтервали, як-от кожні 30 секунд.

Відповідь

C · Фіксацію кожного випадку певної поведінки

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: B · P-hacking

Чому це відповідь

P-hacking використовує гнучкість аналізу, щоб отримати значущість, підвищуючи частку хибнопозитивних результатів значно понад 5%. Попередня реєстрація та прозора звітність її зменшують.

Відповідь

B · P-hacking

3.Описова статистика

Відповідь: s = 11,23

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 281/7 = 40,14

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 2,857² + (−14,14)² + (−6,143)² + 9,857² + 15,86² + 3,857² + (−12,14)² = 756,9

Стандартне відхилення

s = √(756,9/6) = 11,23

Відповідь

s = 11,23

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,2119

Стандартизуйте

z = −0,8

Таблиця нормального розподілу

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 0,2119

Відповідь

P = 0,2119

5.Імовірність

Відповідь: σ = 0,8367

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7

Дисперсія

Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7

σ = √0,7 = 0,8367

Відповідь

σ = 0,8367

6.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 2,408

Розкид X

μ = 1,5, Var(X) = 1,45, σ_X = 1,204

Лінійна зміна

σ_Y = |2|·1,204 = 2,408

Відповідь

σ_Y = 2,408

Середнє таки зсувається: E(Y) = 2·1,5 + 4 = 7.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 0,38

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = 1 − 0,3520 = 0,6480

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,6480 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 0,38

Відповідь

z = 0,38

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 75,33 балів

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Назад до x

x = 100 + −1,645·15 = 75,33 балів

Відповідь

x = 75,33 балів

9.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = −8,541

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 9, t = 3,25

Похибка оцінки

E = 3,25·19,5/√10 = 20,04

Інтервал

11,5 ± 20,04 → [−8,541, 31,54]

Відповідь

нижня межа = −8,541

10.Довірчі інтервали

Відповідь: σ = 4,036 µm

Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.

Сума квадратів

(n − 1)s² = 10·2,3² = 52,9

Межі для σ²

52,9/20,483 = 2,583

52,9/3,247 = 16,29

Межа для σ

σ = √16,29 = 4,036 µm

Відповідь

σ = 4,036 µm

95 % інтервал для σ: [1,607, 4,036] µm.

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 1,2

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 12/√36 = 12/6 = 2

Статистика критерію

t = (52,4 − 50)/2 = 1,2

Відповідь

t = 1,2

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 189

Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.

Виразіть n

n = ((2,326 + 0,842)·13/3)² = 188,5

Округліть угору

n = 189

Відповідь

n = 189

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9892

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 147/6 = 24,5

ȳ = 476/6 = 79,33

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 681

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 3009

Коефіцієнт кореляції

r = 681/√(157,5·3009) = 0,9892

Відповідь

r = 0,9892

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = 2,35

Середні

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 539/5 = 107,8

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 429

Лінія регресії

b = 429/90 = 4,767

a = 107,8 − 4,767·22 = 2,933

ŷ = 2,933 + 4,767·x

Прогнозоване значення

ŷ = 2,933 + 4,767·20,5 = 100,7

Залишок

e = 103 − 100,7 = 2,35

Відповідь

e = 2,35

Точка лежить вище прямої.

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: E = 25,54

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувана частота

E = 101·44/174 = 25,54

Відповідь

E = 25,54

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ²_crit = 13,28

Ступені вільності

df = 6 − 1 − 1 = 4

Таблиця

χ²_crit(df = 4, α = 0,01) = 13,277

Відповідь

χ²_crit = 13,277

Відхиліть H₀, якщо обчислене χ² більше за це значення.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology