Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Стандартна похибка середнього зменшується, коли:

AОбсяг вибірки збільшується
BЗмінну вимірюють на порядковому рівні
CОбсяг вибірки зменшується
DСереднє збільшується

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Шкала самозвіту виявляє, що люди, які погоджуються з багатьма твердженнями, набирають високі бали незалежно від змісту. Що це за упередження відповідей і як його зменшити?

AУпередження соціальної бажаності; використати більшу вибірку
BВимоги ситуації; використати подвійний сліпий дизайн
CСхильність до згоди (acquiescence); додати пункти зі зворотним формулюванням
DЕфекти порядку; контрбалансувати учасників

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 49, 46, 13, 28, 38.

n = 5

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 5. Яка частка P значень більша за 164?

μ = 170σ = 5x = 164

P =

5.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,1, 0,3, 0,3, 0,3

Var(X) =

6.ІмовірністьСкладна

Тест має 6 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,4, незалежно. Яка ймовірність P рівно 5 правильних відповідей?

n = 6p = 0,4k = 5

P =

7.Нормальний розподілСередня

Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Яка частка значень лежить між 85,75 і 115,75 балів? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 100σ = 15x₁ = 85,75x₂ = 115,75

P =

8.Нормальний розподілСкладна

Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 25 % значень (25-й процентиль).

μ = 65σ = 10P = 25%

x = балів

9.Довірчі інтервалиСередня

Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 40 телефонів, середнє 109 h, відоме стандартне відхилення 19 h. Модель 2: 40 телефонів, середнє 114,5 h, відоме стандартне відхилення 6 h. Знайдіть нижню межу 90 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 40x̄₁ = 109 hσ₁ = 19 hn₂ = 40x̄₂ = 114,5 hσ₂ = 6 h90%

нижня межа = h

10.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 9 ділянок, середній урожай 29 kg, стандартне відхилення 7 kg. Група ділянок 2: 5 ділянок, середнє 29,5 kg, стандартне відхилення 3,5 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть граничну похибку E 95 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 9x̄₁ = 29s₁ = 7n₂ = 5x̄₂ = 29,5s₂ = 3,595%t(12) = 2,179

E = kg

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 250; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 20. Випадкова вибірка з 64 спостережень має середнє 252,65. Перевірте H₀: μ = 250 проти H₁: μ ≠ 250. Знайдіть p-значення p.

μ₀ = 250σ = 20n = 64x̄ = 252,65H₁: μ ≠ μ₀

p =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Якою має бути вибірка, щоб 99 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 0,5? Стандартне відхилення — 10. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.

σ = 10E = 0,599%

n =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 6

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 14?

n = 6ŷ = 14

x =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 2002 × 3

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Таблиця містить спостережувані частоти. Перевірте при α = 0,05, чи дві змінні незалежні (без поправки на неперервність). Обчисліть статистику критерію χ², а потім порівняйте її з критичним значенням з таблиці.

N = 2403 × 2α = 0,05

χ² =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Обсяг вибірки збільшується

Чому це відповідь

Стандартна похибка оцінює, наскільки середні вибірок коливаються навколо середнього популяції. Більші вибірки дають точніші оцінки.

Відповідь

A · Обсяг вибірки збільшується

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: C · Схильність до згоди (acquiescence); додати пункти зі зворотним формулюванням

Чому це відповідь

Схильність до згоди — тенденція погоджуватися з пунктами. Якщо поєднувати позитивно й негативно сформульовані пункти, згода з усім уже не дає екстремального бала.

Відповідь

C · Схильність до згоди (acquiescence); додати пункти зі зворотним формулюванням

3.Описова статистика

Відповідь: s = 14,65

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 174/5 = 34,8

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 14,2² + 11,2² + (−21,8)² + (−6,8)² + 3,2² = 858,8

Стандартне відхилення

s = √(858,8/4) = 14,65

Відповідь

s = 14,65

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,8849

Стандартизуйте

z = −1,2

Таблиця нормального розподілу

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 1 − 0,1151 = 0,8849

Відповідь

P = 0,8849

5.Імовірність

Відповідь: Var(X) = 0,96

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 1·0,1 + 2·0,3 + 3·0,3 + 4·0,3 = 2,8

Середнє квадратів

E(X²) = 1·0,1 + 4·0,3 + 9·0,3 + 16·0,3 = 8,8

Дисперсія

Var(X) = 8,8 − 2,8² = 0,96

Відповідь

Var(X) = 0,96

6.Імовірність

Відповідь: P = 0,03686

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Біноміальна формула

P(X = 5) = 6·0,4⁵·0,6¹ = 6·0,01024·0,6 = 0,03686

Відповідь

P = 0,03686

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,6821

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (85,75 − 100)/15 = −0,95

z₂ = (115,75 − 100)/15 = 1,05

Площа між

P = Φ(1,05) − Φ(−0,95) = 0,8531 − 0,1711 = 0,6821

Відповідь

P = 0,6821

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 58,26 балів

z для процентиля

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Назад до x

x = 65 + −0,6745·10 = 58,26 балів

Відповідь

x = 58,26 балів

9.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = −10,68 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точкова оцінка

x̄₁ − x̄₂ = 109 − 114,5 = −5,5

Стандартна похибка

SE = √(19²/40 + 6²/40) = 3,15

Похибка оцінки

E = 1,645·3,15 = 5,182

Інтервал

−5,5 ± 5,182 → [−10,68, −0,3176]

Відповідь

нижня межа = −10,68 h

Інтервал не містить 0, тож середні значуще відрізняються.

10.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 7,368 kg

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (8·7² + 4·3,5²)/12 = 36,75

s_p = 6,062

Похибка оцінки

E = 2,179·6,062·√(1/9 + 1/5) = 7,368

Відповідь

E = 7,368 kg

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: p = 0,2891

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерію

SE = σ/√n = 20/√64 = 2,5

z = (252,65 − 250)/2,5 = 1,06

Площа хвоста

Φ(1,06) = 0,8554

1 − Φ(1,06) = 0,1446

p-значення

p = 2·0,1446 = 0,2891

Відповідь

p = 0,2891

p > 0,05, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 %.

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 2655

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Виразіть n

n = (2,576·10/0,5)² = 2654

Округліть угору

n = 2655

Відповідь

n = 2655

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9868

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 112/6 = 18,67

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 180

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 475,3

Коефіцієнт кореляції

r = 180/√(70·475,3) = 0,9868

Відповідь

r = 0,9868

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 4,911

Середні

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 125/6 = 20,83

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 229

Лінія регресії

b = 229/70 = 3,271

a = 20,83 − 3,271·7 = −2,067

ŷ = −2,067 + 3,271·x

Розв’яжіть щодо x

x = (14 − (−2,067))/3,271 = 4,911

Відповідь

x = 4,911

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 9,45

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

міські: 100·60/200 = 30, 100·60/200 = 30, 100·80/200 = 40

сільські: 100·60/200 = 30, 100·60/200 = 30, 100·80/200 = 40

Статистика хі-квадрат

χ² = (39 − 30)²/30 + (30 − 30)²/30 + (31 − 40)²/40 + (21 − 30)²/30 + (30 − 30)²/30 + (49 − 40)²/40

χ² = 9,45

Відповідь

χ² = 9,45

df = 2. При α = 0,05 критичне значення 5,991, тож H₀ (незалежність) відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 30,6

Очікувані частоти

завод A: 42, 18

завод B: 70, 30

завод C: 56, 24

Статистика хі-квадрат

χ² = (53 − 42)²/42 + (7 − 18)²/18 + (51 − 70)²/70 + (49 − 30)²/30 + (64 − 56)²/56 + (16 − 24)²/24

χ² = 30,6

Рішення

df = 2, χ²_crit = 5,991

30,6 > 5,991

Відповідь

χ² = 30,6

χ² вище за критичне значення, тож H₀ відхиляється: змінні, схоже, пов’язані.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology