Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Яка статистика доречна для зв'язку між двома наборами рангів, як-от рангами картин, виставленими суддями?

At-тест для незалежних вибірок
Br Пірсона
CРо Спірмена
DХі-квадрат

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Дослідниця порівнює три чи більше групових середніх. Чому вона використовує однофакторний дисперсійний аналіз, а не кілька t-тестів?

AДисперсійний аналіз завжди знаходить більші ефекти, ніж еквівалентний набір t-тестів
BКілька t-тестів роздувають загальну ймовірність помилки I роду
Ct-тестам потрібні якісні дані
Dt-тести не працюють із числами понад 100

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 32, 33, 54, 40, 23, 28, 23.

n = 7

s =

4.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 20. Знайдіть z-оцінку z для результату 130.

μ = 170σ = 20x = 130

z =

5.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,25, 0,1, 0,05, 0,25

σ =

6.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €5. Ви виграєте €15 з імовірністю 0,2 і €250 з імовірністю 0,05; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €5€15: p = 0,2€250: p = 0,05

E(G) = €

7.Нормальний розподілСередня

Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Яка частка значень лежить між 240 і 252,5 g? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 250σ = 5x₁ = 240x₂ = 252,5

P =

8.Нормальний розподілСкладна

Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 90 % значень (90-й процентиль).

μ = 178σ = 7P = 90%

x = cm

9.Довірчі інтервалиСередня

95 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 50 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 9,9. Якою буде гранична похибка E₂, якщо в тому самому дослідженні використати 200 спостережень?

95%n₁ = 50E₁ = 9,9n₂ = 200

E₂ =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 36. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 90 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 1?

σ = 36E = 190%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 100 студентів має середній бал 53,15 і вибіркове стандартне відхилення 15. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 53,15s = 15n = 100

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій для H₀: μ = 200 проти H₁: μ < 200 виконують на рівні α = 0.10 за вибіркою обсягом 36; стандартне відхилення відоме й дорівнює 15. Насправді середнє дорівнює 194. Знайдіть потужність 1 − β критерію у відсотках.

μ₀ = 200μ = 194σ = 15n = 36α = 0,10

1 − β = %

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 6

r² =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 5.

n = 5x = 5

ŷ =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 1202 × 2

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Таблиця містить спостережувані частоти. Перевірте при α = 0,01, чи дві змінні незалежні (без поправки на неперервність). Обчисліть статистику критерію χ², а потім порівняйте її з критичним значенням з таблиці.

N = 1603 × 2α = 0,01

χ² =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: C · Ро Спірмена

Чому це відповідь

Рангова кореляція Спірмена вимірює силу монотонного зв'язку між двома ранжованими чи порядковими змінними.

Відповідь

C · Ро Спірмена

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: B · Кілька t-тестів роздувають загальну ймовірність помилки I роду

Чому це відповідь

Багато попарних тестів множать шанс хибнопозитивного результату. ANOVA перевіряє всі групи разом, після чого виконують скориговані post hoc тести.

Відповідь

B · Кілька t-тестів роздувають загальну ймовірність помилки I роду

3.Описова статистика

Відповідь: s = 10,92

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 233/7 = 33,29

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−1,286)² + (−0,2857)² + 20,71² + 6,714² + (−10,29)² + (−5,286)² + (−10,29)² = 715,4

Стандартне відхилення

s = √(715,4/6) = 10,92

Відповідь

s = 10,92

4.Описова статистика

Відповідь: z = −2

Стандартизуйте

z = (130 − 170)/20 = −2

Відповідь

z = −2

5.Імовірність

Відповідь: σ = 1,594

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,35 + 1·0,25 + 2·0,1 + 3·0,05 + 4·0,25 = 1,6

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,25 + 4·0,1 + 9·0,05 + 16·0,25 = 5,1

Дисперсія

Var(X) = 5,1 − 1,6² = 2,54

σ = √2,54 = 1,594

Відповідь

σ = 1,594

6.Імовірність

Відповідь: E(G) = 10,5 €

Чисті результати

G: 10 (p = 0,2), 245 (p = 0,05), −5 (p = 0,75)

Математичне сподівання

E(G) = 10·0,2 + 245·0,05 − 5·0,75 = 10,5 €

Відповідь

E(G) = 10,5 €

Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,6687

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (240 − 250)/5 = −2

z₂ = (252,5 − 250)/5 = 0,5

Площа між

P = Φ(0,5) − Φ(−2) = 0,6915 − 0,02275 = 0,6687

Відповідь

P = 0,6687

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 187 cm

z для процентиля

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Назад до x

x = 178 + 1,282·7 = 186,97 cm

Відповідь

x = 186,97 cm

9.Довірчі інтервали

Відповідь: E₂ = 4,95

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Відношення похибок

E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(50/200) = 0,5

Нова похибка

E₂ = 9,9·0,5 = 4,95

Відповідь

E₂ = 4,95

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 3508

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (1,645·36/1)² = 3507

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 3508

Відповідь

n = 3508

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 2,1

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 15/√100 = 15/10 = 1,5

Статистика критерію

t = (53,15 − 50)/1,5 = 2,1

Відповідь

t = 2,1

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: 1 − β = 86,82 %

Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критичне вибіркове середнє

SE = 15/√36 = 2,5

x̄_c = 200 − 1,282·2,5 = 196,8

z при справжньому середньому

z = (196,8 − 194)/2,5 = 1,118

Потужність

потужність = P(Z < 1.118) = 86.82%

1 − β = 86,82%

Відповідь

1 − β = 86,82%

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9633

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 453/6 = 75,5

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 215

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 685,5

Коефіцієнт детермінації

r² = 215²/(70·685,5) = 0,9633

Відповідь

r² = 0,9633

Близько 96,33% варіації y пояснюється прямою.

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 62,5

Середні

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 327/5 = 65,4

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 116

Лінія регресії

b = 116/40 = 2,9

a = 65,4 − 2,9·6 = 48

ŷ = 48 + 2,9·x

Прогноз

ŷ = 48 + 2,9·5 = 62,5

Відповідь

ŷ = 62,5

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 2,4

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

курці: 80·60/120 = 40, 80·60/120 = 40

некурці: 40·60/120 = 20, 40·60/120 = 20

Статистика хі-квадрат

χ² = (44 − 40)²/40 + (36 − 40)²/40 + (16 − 20)²/20 + (24 − 20)²/20

χ² = 2,4

Відповідь

χ² = 2,4

df = 1. При α = 0,05 критичне значення 3,841, тож H₀ (незалежність) не відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 31,28

Очікувані частоти

вік 18–30: 24, 36

вік 31–50: 24, 36

вік 51+: 16, 24

Статистика хі-квадрат

χ² = (17 − 24)²/24 + (43 − 36)²/36 + (16 − 24)²/24 + (44 − 36)²/36 + (31 − 16)²/16 + (9 − 24)²/24

χ² = 31,28

Рішення

df = 2, χ²_crit = 9,210

31,28 > 9,210

Відповідь

χ² = 31,28

χ² вище за критичне значення, тож H₀ відхиляється: змінні, схоже, пов’язані.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology