Описова статистика
- Середнє
- x̄ = Σx/n
- Вибіркове стандартне відхилення
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медіана
- серединне значення впорядкованих даних
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальний розподіл
- 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ
Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Імовірність
- Протилежна подія
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило додавання
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Незалежні події
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Умовна ймовірність
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Біноміальний розподіл
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальний розподіл
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Менше за x
- P(X < x) = Φ(z)
- Більше за x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Між
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
- Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
- Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
- Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.
Довірчі інтервали
- σ відоме
- x̄ ± z·σ/√n
- σ невідоме
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критичне значення z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Обсяг вибірки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
- Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
- Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
- Інтервал: x̄ ± E.
Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
- z-тест для середнього
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для середнього
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двобічний на рівні 5%
- відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
- Довірчий інтервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
- Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
- Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
- Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.
Лінійна регресія та кореляція
- Суми квадратів
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Нахил
- b = Sxy/Sxx
- Вільний член
- a = ȳ − b·x̄
- Кореляція
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Залишок
- e = y − ŷ
Критерії хі-квадрат
- Статистика критерію
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Узгодженість (goodness of fit)
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Незалежність
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Критичні значення (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Рішення
- відхилити H0, якщо χ² > χ²crit
2Задачі для практики
1.Методи досліджень у психологіїСередня
Приблизно який відсоток балів у нормальному розподілі лежить у межах одного стандартного відхилення від середнього?
- A95%
- B50%
- C99,7%
- D68%
2.Методи досліджень у психологіїСкладна
Фізичні вправи зменшують депресію, і цей ефект виникає тому, що вправи покращують сон, а він, своєю чергою, знижує депресію. Сон найкраще описати як:
- AКонтрольовану змінну
- BСторонню змінну
- CМодератор
- DМедіатор
3.Описова статистикаСередня
Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 10, 60, 23, 35, 58, 39.
n = 6
s =
4.Описова статистикаСкладна
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 20. Знайдіть z-оцінку z для результату 85.
μ = 60σ = 20x = 85
z =
5.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,3, 0,15, 0,2
σ =
6.ІмовірністьСкладна
Участь у грі коштує €1. Ви виграєте €2 з імовірністю 0,2 і €10 з імовірністю 0,02; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.
ставка = €1€2: p = 0,2€10: p = 0,02
E(G) = €
7.Нормальний розподілСередня
Маси ящики незалежні та нормальні із середнім 12 kg і середнім квадратичним відхиленням 0,8 kg. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 5 з них перевищує 59,1 kg. Округліть z до двох знаків після коми.
μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 5> 59,1 kg
P =
8.Нормальний розподілСкладна
Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 80 % значень (80-й процентиль).
μ = 500σ = 40P = 80%
x = h
9.Довірчі інтервалиСередня
Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 50 телефонів, середнє 103,5 h, відоме стандартне відхилення 6 h. Модель 2: 30 телефонів, середнє 102 h, відоме стандартне відхилення 13 h. Знайдіть верхню межу 95 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
n₁ = 50x̄₁ = 103,5 hσ₁ = 6 hn₂ = 30x̄₂ = 102 hσ₂ = 13 h95%
верхня межа = h
10.Довірчі інтервалиСкладна
Пілотне дослідження показує, що бракованими є приблизно 0,6 виробів. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 90 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,05?
p ≈ 0,6E = 0,0590%
n =
11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 100 студентів має середній бал 196,7 і вибіркове стандартне відхилення 15. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 196,7s = 15n = 100
t =
12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Односторонній z-критерій на рівні α = 0,05 має виявляти зсув середнього на 1,5 одиниць із потужністю 80 %. Стандартне відхилення 13. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.
α = 0,05потужність = 80%δ = 1,5σ = 13zα = 1,645zβ = 0,842
n =
13.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.
n = 5
r² =
14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 5.
n = 6x = 5
ŷ =
15.Критерії хі-квадратСередня
Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.
N = 1202 × 3
χ² =
16.Критерії хі-квадратСкладна
Критерій незалежності хі-квадрат застосовують до таблиці спряженості з 2 рядками й 3 стовпцями (без урахування підсумків). Скільки ступенів вільності df має критерій?
2 × 3
df =
3Розчини
1.Методи досліджень у психології
Відповідь: D · 68%
Чому це відповідь
Близько 68% балів лежать у межах ±1 SD, близько 95% — у межах ±2 SD і близько 99,7% — у межах ±3 SD.
Відповідь
D · 68%
2.Методи досліджень у психології
Відповідь: D · Медіатор
Чому це відповідь
Медіатор лежить на причинному шляху між предиктором і результатом, пояснюючи, як або чому виникає ефект.
Відповідь
D · Медіатор
3.Описова статистика
Відповідь: s = 19,5
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Середнє
x̄ = 225/6 = 37,5
Квадрати відхилень
Σ(x − x̄)² = (−27,5)² + 22,5² + (−14,5)² + (−2,5)² + 20,5² + 1,5² = 1902
Стандартне відхилення
s = √(1902/5) = 19,5
Відповідь
s = 19,5
4.Описова статистика
Відповідь: z = 1,25
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (85 − 60)/20 = 1,25
Відповідь
z = 1,25
5.Імовірність
Відповідь: σ = 11,22
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Середнє
μ = 10·0,35 + 20·0,3 + 30·0,15 + 40·0,2 = 22
Середнє квадратів
E(X²) = 100·0,35 + 400·0,3 + 900·0,15 + 1600·0,2 = 610
Дисперсія
Var(X) = 610 − 22² = 126
σ = √126 = 11,22
Відповідь
σ = 11,22
6.Імовірність
Відповідь: E(G) = −0,4 €
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Чисті результати
G: 1 (p = 0,2), 9 (p = 0,02), −1 (p = 0,78)
Математичне сподівання
E(G) = 1·0,2 + 9·0,02 − 1·0,78 = −0,4 €
Відповідь
E(G) = −0,4 €
Від’ємне значення означає, що в середньому ви втрачаєте гроші.
7.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,6915
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл суми
μT = 60 kg, σT = 0,8·√5 = 1,789 kg
Стандартизуйте
z = (59,1 − 60)/1,789 = −0,5
Імовірність
P = 1 − Φ(−0,5) = 0,6915
Відповідь
P = 0,6915
8.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 533,7 h
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416
Назад до x
x = 500 + 0,8416·40 = 533,66 h
Відповідь
x = 533,66 h
9.Довірчі інтервали
Відповідь: верхня межа = 6,44 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точкова оцінка
x̄₁ − x̄₂ = 103,5 − 102 = 1,5
Стандартна похибка
SE = √(6²/50 + 13²/30) = 2,521
Похибка оцінки
E = 1,96·2,521 = 4,94
Інтервал
1,5 ± 4,94 → [−3,44, 6,44]
Відповідь
верхня межа = 6,44 h
Інтервал містить 0, тож дані не показують значущої різниці.
10.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 260
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Виразіть n
n = 1,645²·0,6·0,4/0,05² = 259,8
Округліть угору
n = 260
Відповідь
n = 260
11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = −2,2
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 15/√100 = 15/10 = 1,5
Статистика критерію
t = (196,7 − 200)/1,5 = −2,2
Відповідь
t = −2,2
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| > 1,984, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: n = 465
Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.
Виразіть n
n = ((1,645 + 0,842)·13/1,5)² = 464,6
Округліть угору
n = 465
Відповідь
n = 465
13.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r² = 0,8843
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 319/5 = 63,8
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 61
Syy = Σ(y − ȳ)² = 420,8
Коефіцієнт детермінації
r² = 61²/(10·420,8) = 0,8843
Відповідь
r² = 0,8843
Близько 88,43% варіації y пояснюється прямою.
14.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: ŷ = 10,47
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 87/6 = 14,5
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 141
Лінія регресії
b = 141/70 = 2,014
a = 14,5 − 2,014·7 = 0,4
ŷ = 0,4 + 2,014·x
Прогноз
ŷ = 0,4 + 2,014·5 = 10,47
Відповідь
ŷ = 10,47
15.Критерії хі-квадрат
Відповідь: χ² = 5,652
Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.
Очікувані частоти
міські: 40·24/120 = 8, 40·54/120 = 18, 40·42/120 = 14
сільські: 80·24/120 = 16, 80·54/120 = 36, 80·42/120 = 28
Статистика хі-квадрат
χ² = (5 − 8)²/8 + (24 − 18)²/18 + (11 − 14)²/14 + (19 − 16)²/16 + (30 − 36)²/36 + (31 − 28)²/28
χ² = 5,652
Відповідь
χ² = 5,652
df = 2. При α = 0,05 критичне значення 5,991, тож H₀ (незалежність) не відхиляється.
16.Критерії хі-квадрат
Відповідь: df = 2
Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.
Ступені вільності
df = (2 − 1)·(3 − 1) = 2
Відповідь
df = 2
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology