Описова статистика
- Середнє
- x̄ = Σx/n
- Вибіркове стандартне відхилення
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медіана
- серединне значення впорядкованих даних
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальний розподіл
- 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ
Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Імовірність
- Протилежна подія
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило додавання
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Незалежні події
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Умовна ймовірність
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Біноміальний розподіл
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальний розподіл
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Менше за x
- P(X < x) = Φ(z)
- Більше за x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Між
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
- Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
- Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
- Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.
Довірчі інтервали
- σ відоме
- x̄ ± z·σ/√n
- σ невідоме
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критичне значення z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Обсяг вибірки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
- Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
- Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
- Інтервал: x̄ ± E.
Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
- z-тест для середнього
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для середнього
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двобічний на рівні 5%
- відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
- Довірчий інтервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
- Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
- Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
- Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.
Лінійна регресія та кореляція
- Суми квадратів
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Нахил
- b = Sxy/Sxx
- Вільний член
- a = ȳ − b·x̄
- Кореляція
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Залишок
- e = y − ŷ
Критерії хі-квадрат
- Статистика критерію
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Узгодженість (goodness of fit)
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Незалежність
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Критичні значення (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Рішення
- відхилити H0, якщо χ² > χ²crit
2Задачі для практики
1.Методи досліджень у психологіїСередня
У дослідженнях методом спостереження вибірка подій (event sampling) означає:
- AВипадковий вибір учасників
- BФіксацію лише тих подій, про які повідомляють учасники
- CФіксацію кожного випадку певної поведінки
- DФіксацію поведінки лише через фіксовані проміжки часу
2.Методи досліджень у психологіїСкладна
Дослідник хоче показати, що нова шкала тривожності вимірює щось відмінне від депресії. Низькі кореляції зі шкалою депресії підтвердили б:
- AДискримінантну валідність
- BКонвергентну валідність
- CОчевидну (face) валідність
- DПрогностичну валідність
3.Описова статистикаСередня
Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 30, 31, 49, 25, 48, 15.
n = 6
s =
4.Описова статистикаСкладна
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 5. Знайдіть z-оцінку z для результату 167,5.
μ = 170σ = 5x = 167,5
z =
5.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,15, 0,25, 0,3
Var(X) =
6.ІмовірністьСкладна
Тест має 7 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,5, незалежно. Яка ймовірність P рівно 2 правильних відповідей?
n = 7p = 0,5k = 2
P =
7.Нормальний розподілСередня
Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Яка частка значень лежить між 440 і 572 h? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 500σ = 40x1 = 440x2 = 572
P =
8.Нормальний розподілСкладна
Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 5 % значень (5-й процентиль).
μ = 500σ = 40P = 5%
x = h
9.Довірчі інтервалиСередня
Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 80 телефонів, середнє 121,5 h, відоме стандартне відхилення 6 h. Модель 2: 40 телефонів, середнє 133 h, відоме стандартне відхилення 15 h. Знайдіть нижню межу 90 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
n₁ = 80x̄₁ = 121,5 hσ₁ = 6 hn₂ = 40x̄₂ = 133 hσ₂ = 15 h90%
нижня межа = h
10.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 39. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 0,5?
σ = 39E = 0,599%
n =
11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 49 студентів має середній бал 101,2 і вибіркове стандартне відхилення 5. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 101,2s = 5n = 49
t =
12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Односторонній z-критерій для H₀: μ = 50 проти H₁: μ < 50 виконують на рівні α = 0.05 за вибіркою обсягом 25; стандартне відхилення відоме й дорівнює 5. Насправді середнє дорівнює 47. Знайдіть потужність 1 − β критерію у відсотках.
μ₀ = 50μ = 47σ = 5n = 25α = 0,05
1 − β = %
13.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.
n = 5Σx = 15Σy = 112Σx² = 55Σy² = 2574Σxy = 313
r =
14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 4,5.
n = 6x = 4,5
ŷ =
15.Критерії хі-квадратСередня
Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.
N = 1002 × 2
χ² =
16.Критерії хі-квадратСкладна
Таблиця містить спостережувані частоти. Перевірте при α = 0,01, чи дві змінні незалежні (без поправки на неперервність). Обчисліть статистику критерію χ², а потім порівняйте її з критичним значенням з таблиці.
N = 2003 × 2α = 0,01
χ² =
3Розчини
1.Методи досліджень у психології
Відповідь: C · Фіксацію кожного випадку певної поведінки
Чому це відповідь
Вибірка подій підраховує кожен випадок цільової поведінки. Часова вибірка фіксує, що відбувається через задані інтервали, як-от кожні 30 секунд.
Відповідь
C · Фіксацію кожного випадку певної поведінки
2.Методи досліджень у психології
Відповідь: A · Дискримінантну валідність
Чому це відповідь
Дискримінантну (дивергентну) валідність показано, коли інструмент слабко корелює з інструментами для інших конструктів. Конвергентна валідність — це висока кореляція з інструментами для того самого конструкту.
Відповідь
A · Дискримінантну валідність
3.Описова статистика
Відповідь: s = 13,28
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Середнє
x̄ = 198/6 = 33
Квадрати відхилень
Σ(x − x̄)² = (−3)² + (−2)² + 16² + (−8)² + 15² + (−18)² = 882
Стандартне відхилення
s = √(882/5) = 13,28
Відповідь
s = 13,28
4.Описова статистика
Відповідь: z = −0,5
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (167,5 − 170)/5 = −0,5
Відповідь
z = −0,5
5.Імовірність
Відповідь: Var(X) = 144,8
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Середнє
μ = 10·0,3 + 20·0,15 + 30·0,25 + 40·0,3 = 25,5
Середнє квадратів
E(X²) = 100·0,3 + 400·0,15 + 900·0,25 + 1600·0,3 = 795
Дисперсія
Var(X) = 795 − 25,5² = 144,8
Відповідь
Var(X) = 144,8
6.Імовірність
Відповідь: P = 0,1641
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Біноміальна формула
P(X = 2) = 21·0,52·0,55 = 21·0,25·0,03125 = 0,1641
Відповідь
P = 0,1641
7.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,8973
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z-оцінки
z₁ = (440 − 500)/40 = −1,5
z₂ = (572 − 500)/40 = 1,8
Площа між
P = Φ(1,8) − Φ(−1,5) = 0,9641 − 0,06681 = 0,8973
Відповідь
P = 0,8973
8.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 434,2 h
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,05 → z = −1,645
Назад до x
x = 500 + −1,645·40 = 434,2 h
Відповідь
x = 434,2 h
9.Довірчі інтервали
Відповідь: нижня межа = −15,55 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точкова оцінка
x̄₁ − x̄₂ = 121,5 − 133 = −11,5
Стандартна похибка
SE = √(6²/80 + 15²/40) = 2,465
Похибка оцінки
E = 1,645·2,465 = 4,055
Інтервал
−11,5 ± 4,055 → [−15,55, −7,445]
Відповідь
нижня межа = −15,55 h
Інтервал не містить 0, тож середні значуще відрізняються.
10.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 40373
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (2,576·39/0,5)² = 40372
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 40373
Відповідь
n = 40373
11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = 1,68
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 5/√49 = 5/7 = 0,7143
Статистика критерію
t = (101,2 − 100)/0,7143 = 1,68
Відповідь
t = 1,68
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| < 2.011, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: 1 − β = 91,23 %
Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Критичне вибіркове середнє
SE = 5/√25 = 1
x̄c = 50 − 1,645·1 = 48,35
z при справжньому середньому
z = (48,35 − 47)/1 = 1,355
Потужність
потужність = P(Z < 1.355) = 91.23%
1 − β = 91,23%
Відповідь
1 − β = 91,23%
13.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = −0,9007
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 313 − 15·112/5 = −23
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 2574 − 112²/5 = 65,2
Коефіцієнт кореляції
r = −23/√(10·65,2) = −0,9007
Відповідь
r = −0,9007
14.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: ŷ = 53,17
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 319/6 = 53,17
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 80,5
Лінія регресії
b = 80,5/17,5 = 4,6
a = 53,17 − 4,6·4,5 = 32,47
ŷ = 32,47 + 4,6·x
Прогноз
ŷ = 32,47 + 4,6·4,5 = 53,17
Відповідь
ŷ = 53,17
15.Критерії хі-квадрат
Відповідь: χ² = 30,95
Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.
Очікувані частоти
курці: 60·65/100 = 39, 60·35/100 = 21
некурці: 40·65/100 = 26, 40·35/100 = 14
Статистика хі-квадрат
χ² = (52 − 39)²/39 + (8 − 21)²/21 + (13 − 26)²/26 + (27 − 14)²/14
χ² = 30,95
Відповідь
χ² = 30,95
df = 1. При α = 0,05 критичне значення 3,841, тож H₀ (незалежність) відхиляється.
16.Критерії хі-квадрат
Відповідь: χ² = 6,174
Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.
Очікувані частоти
завод A: 40, 60
завод B: 24, 36
завод C: 16, 24
Статистика хі-квадрат
χ² = (32 − 40)²/40 + (68 − 60)²/60 + (31 − 24)²/24 + (29 − 36)²/36 + (17 − 16)²/16 + (23 − 24)²/24
χ² = 6,174
Рішення
df = 2, χ²crit = 9,210
6,174 < 9,210
Відповідь
χ² = 6,174
χ² нижче за критичне значення, тож H₀ не відхиляється: значущих доказів зв’язку немає.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology