Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє
x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана
серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл
68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія
P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Менше за x
P(X < x) = Φ(z)
Більше за x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
  2. Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
  3. Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
  4. Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме
x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
  2. Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
  3. Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
  4. Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для середнього
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%
відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
  2. Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
  3. Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
  4. Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил
b = Sxy/Sxx
Вільний член
a = ȳ − b·x̄
Кореляція
r = Sxy/√(SxxSyy)
Залишок
e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію
χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit)
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення
відхилити H0, якщо χ² > χ²crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Дослідженню, проведеному лише з американськими студентами бакалаврату, може бракувати:

  1. AЗмістової валідності
  2. BПопуляційної валідності
  3. CНадійності між оцінювачами
  4. DВнутрішньої узгодженості
2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Інтерпретаційний феноменологічний аналіз (IPA) переважно має на меті:

  1. AПеревіряти причинні гіпотези на великих вибірках
  2. BПідраховувати частоту слів у текстах
  3. CДослідити, як люди осмислюють власний життєвий досвід
  4. DТочно вимірювати час реакції
3.Описова статистикаСередня
25303540455055

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 59, 30, 40, 31, 44, 21, 29.

n = 7
s =
4.Описова статистикаСкладна
z −2−1012

Величина розподілена нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 20. Яка частка P значень менша за 80?

μ = 60σ = 20x = 80
P =
5.ІмовірністьСередня
червоні: 3сині: 7

У мішечку 3 червоних і 7 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?

3 / 7
P =
6.ІмовірністьСкладна
€p(x)−20,8440,15980,01

Участь у грі коштує €2. Ви виграєте €6 з імовірністю 0,15 і €100 з імовірністю 0,01; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €2€6: p = 0,15€100: p = 0,01
E(G) = €
7.Нормальний розподілСередня
27,239,2P = ?

Нехай тривалості доставки розподілені нормально із середнім 32 min і стандартним відхиленням 6 min. Яка частка значень лежить між 27,2 і 39,2 min? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 32σ = 6x1 = 27,2x2 = 39,2
P =
8.Нормальний розподілСкладна
235240245250255260265gверх 95%

маси пакетів нормально розподілені із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 95% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 250 gσ = 5 g95%
x = g
9.Довірчі інтервалиСередня
μ₁ − μ₂0LU = ?x̄₁ − x̄₂E95%

Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 60 телефонів, середнє 84,5 h, відоме стандартне відхилення 10 h. Модель 2: 80 телефонів, середнє 87,5 h, відоме стандартне відхилення 20 h. Знайдіть верхню межу 95 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 60x̄₁ = 84,5 hσ₁ = 10 hn₂ = 80x̄₂ = 87,5 hσ₂ = 20 h95%
верхня межа = h
10.Довірчі інтервалиСкладна
p = 0,5, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0,0495%

Про частку бракованих виробів наперед нічого не відомо. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 95 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,04?

p = 0,5E = 0,0495%
n =
11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
t −2,01102,011

Вибірка з 49 студентів має середній бал 49,49 і вибіркове стандартне відхилення 4. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 49,49s = 4n = 49
t =
12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
z −1,9601,96

Вибірка з 64 вимірювань має середнє 47,6. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 8. Знайдіть нижню межу L 95 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 47,6σ = 8n = 6495%
L =
13.Лінійна регресія та кореляціяСередня
xy2541161782110241226xy5101020

Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 6
r² =
14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
xy21041562583110411247xy5102040x = 7

Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 7.

n = 6x = 7
ŷ =
15.Критерії хі-квадратСередня
такніРазомчоловіки271340жінки431760Разом7030100

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 1002 × 2
χ² =
16.Критерії хі-квадратСкладна
dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Критерій узгодженості хі-квадрат перевіряє, чи частоти в 7 категоріях відповідають розподілу Пуассона, середнє якого оцінено з тих самих даних. За таблицею знайдіть критичне значення χ²crit при рівні значущості α = 0,05.

α = 0,05
χ²crit =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: B · Популяційної валідності

Чому це відповідь

Популяційна валідність — вид зовнішньої валідності. Вибірки переважно з молодих, західних і освічених людей можуть не репрезентувати інших.

Відповідь

B · Популяційної валідності
2.Методи досліджень у психології

Відповідь: C · Дослідити, як люди осмислюють власний життєвий досвід

Чому це відповідь

IPA поглиблено вивчає невеликі однорідні вибірки, з'ясовуючи, як учасники тлумачать значущий досвід, а дослідник інтерпретує їхнє осмислення.

Відповідь

C · Дослідити, як люди осмислюють власний життєвий досвід
3.Описова статистика

Відповідь: s = 12,54

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 254/7 = 36,29

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 22,71² + (−6,286)² + 3,714² + (−5,286)² + 7,714² + (−15,29)² + (−7,286)² = 943,4

Стандартне відхилення

s = √(943,4/6) = 12,54

Відповідь

s = 12,54
4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,8413

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Стандартизуйте

z = 1

Таблиця нормального розподілу

Φ(1) = 0,8413
P = 0,8413

Відповідь

P = 0,8413
5.Імовірність

Відповідь: P = 0,06667

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Перше і друге витягування

P = 3/10 · 2/9 = 6/90 = 0,06667

Відповідь

P = 0,06667
6.Імовірність

Відповідь: E(G) = −0,1 €

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.

Чисті результати

G: 4 (p = 0,15), 98 (p = 0,01), −2 (p = 0,84)

Математичне сподівання

E(G) = 4·0,15 + 98·0,01 − 2·0,84 = −0,1 €

Відповідь

E(G) = −0,1 €

Від’ємне значення означає, що в середньому ви втрачаєте гроші.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,6731

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (27,2 − 32)/6 = −0,8
z₂ = (39,2 − 32)/6 = 1,2

Площа між

P = Φ(1,2) − Φ(−0,8) = 0,8849 − 0,2119 = 0,6731

Відповідь

P = 0,6731
8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 241,8 g

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,05

z з таблиці

z ≈ −1,64

Назад до початкових одиниць

x = 250 − 1,64·5 = 241,8 g

Відповідь

x = 241,8 g
9.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 2,061 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точкова оцінка

x̄₁ − x̄₂ = 84,5 − 87,5 = −3

Стандартна похибка

SE = √(10²/60 + 20²/80) = 2,582

Похибка оцінки

E = 1,96·2,582 = 5,061

Інтервал

−3 ± 5,061 → [−8,061, 2,061]

Відповідь

верхня межа = 2,061 h

Інтервал містить 0, тож дані не показують значущої різниці.

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 601

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Виразіть n

n = 1,96²·0,5·0,5/0,04² = 600,2

Округліть угору

n = 601

Відповідь

n = 601
11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −0,8925

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 4/√49 = 4/7 = 0,5714

Статистика критерію

t = (49,49 − 50)/0,5714 = −0,8925

Відповідь

t = −0,8925
t0,025; df = 48 = 2,011

|t| < 2.011, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: L = 45,64

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Похибка оцінки

E = 1,96·8/√64 = 1,96

Межа інтервалу

L = 47,6 − 1,96 = 45,64

Відповідь

L = 45,64
13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9618

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 104/6 = 17,33

Суми квадратів і добутків

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 148
Syy = Σ(y − ȳ)² = 325,3

Коефіцієнт детермінації

r² = 148²/(70·325,3) = 0,9618

Відповідь

r² = 0,9618

Близько 96,18% варіації y пояснюється прямою.

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 28,17

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 169/6 = 28,17

Суми квадратів і добутків

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 269

Лінія регресії

b = 269/70 = 3,843
a = 28,17 − 3,843·7 = 1,267
ŷ = 1,267 + 3,843·x

Прогноз

ŷ = 1,267 + 3,843·7 = 28,17

Відповідь

ŷ = 28,17
15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 0,1984

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

чоловіки: 40·70/100 = 28, 40·30/100 = 12
жінки: 60·70/100 = 42, 60·30/100 = 18

Статистика хі-квадрат

χ² = (27 − 28)²/28 + (13 − 12)²/12 + (43 − 42)²/42 + (17 − 18)²/18
χ² = 0,1984

Відповідь

χ² = 0,1984

df = 1. При α = 0,05 критичне значення 3,841, тож H₀ (незалежність) не відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ²crit = 11,07

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Ступені вільності

df = 7 − 1 − 1 = 5

Таблиця

χ²crit(df = 5, α = 0,05) = 11,070

Відповідь

χ²crit = 11,070

Відхиліть H₀, якщо обчислене χ² більше за це значення.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology