Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Дослідник порівнює агресивність дітей до і після появи телебачення у віддаленому містечку. Дослідник не контролював появи телебачення. Це:

AЛабораторний експеримент
BПольовий експеримент
CКореляційне опитування щодо перегляду телебачення
DПриродний експеримент

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Шкала самозвіту виявляє, що люди, які погоджуються з багатьма твердженнями, набирають високі бали незалежно від змісту. Що це за упередження відповідей і як його зменшити?

AЕфекти порядку; контрбалансувати учасників
BВимоги ситуації; використати подвійний сліпий дизайн
CУпередження соціальної бажаності; використати більшу вибірку
DСхильність до згоди (acquiescence); додати пункти зі зворотним формулюванням

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 34, 17, 49, 36, 10, 26.

n = 6

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 12. Яка частка P значень менша за 55,6?

μ = 70σ = 12x = 55,6

P =

5.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,05, 0,3, 0,35, 0,3

Var(X) =

6.ІмовірністьСкладна

Тест має 9 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,3, незалежно. Яка ймовірність P рівно 5 правильних відповідей?

n = 9p = 0,3k = 5

P =

7.Нормальний розподілСередня

Маси ящики незалежні та нормальні із середнім 12 kg і середнім квадратичним відхиленням 0,8 kg. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 10 з них менша за 123,8 kg. Округліть z до двох знаків після коми.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 10< 123.8 kg

P =

8.Нормальний розподілСкладна

маси пакетів нормально розподілені із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 95% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 250 gσ = 5 g95%

x = g

9.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 6 елементів має середнє 48 і стандартне відхилення s = 11,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 99 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 6x̄ = 48s = 11,599%t(5) = 4,032

E =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 12. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 5?

σ = 12E = 599%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 81 студентів має середній бал 75,76 і вибіркове стандартне відхилення 4. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 75,76s = 4n = 81

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій для H₀: μ = 50 проти H₁: μ > 50 виконують на рівні α = 0,01 за вибіркою обсягом 100; стандартне відхилення відоме й дорівнює 30. Насправді середнє дорівнює 59,9. Знайдіть імовірність помилки другого роду β у відсотках.

μ₀ = 50μ = 59,9σ = 30n = 100α = 0,01

β = %

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 5Σx = 30Σy = 86Σx² = 220Σy² = 1776Σxy = 624

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 66?

n = 6ŷ = 66

x =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 1602 × 2

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій узгодженості хі-квадрат порівнює спостережувані частоти в 4 категоріях з повністю заданими очікуваними частками (жодних параметрів з даних не оцінюють). За таблицею знайдіть критичне значення χ²_crit при рівні значущості α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: D · Природний експеримент

Чому це відповідь

У природному експерименті НЗ змінюється через події поза контролем дослідника. Екологічна валідність висока, але випадковий розподіл неможливий.

Відповідь

D · Природний експеримент

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: D · Схильність до згоди (acquiescence); додати пункти зі зворотним формулюванням

Чому це відповідь

Схильність до згоди — тенденція погоджуватися з пунктами. Якщо поєднувати позитивно й негативно сформульовані пункти, згода з усім уже не дає екстремального бала.

Відповідь

D · Схильність до згоди (acquiescence); додати пункти зі зворотним формулюванням

3.Описова статистика

Відповідь: s = 14,05

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 172/6 = 28,67

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 5,333² + (−11,67)² + 20,33² + 7,333² + (−18,67)² + (−2,667)² = 987,3

Стандартне відхилення

s = √(987,3/5) = 14,05

Відповідь

s = 14,05

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,1151

Стандартизуйте

z = −1,2

Таблиця нормального розподілу

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 0,1151

Відповідь

P = 0,1151

5.Імовірність

Відповідь: Var(X) = 3,16

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,05 + 2·0,3 + 4·0,35 + 6·0,3 = 3,8

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,05 + 4·0,3 + 16·0,35 + 36·0,3 = 17,6

Дисперсія

Var(X) = 17,6 − 3,8² = 3,16

Відповідь

Var(X) = 3,16

6.Імовірність

Відповідь: P = 0,07351

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Біноміальна формула

P(X = 5) = 126·0,3⁵·0,7⁴ = 126·0,00243·0,2401 = 0,07351

Відповідь

P = 0,07351

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9332

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ_T = 120 kg, σ_T = 0,8·√10 = 2,53 kg

Стандартизуйте

z = (123,8 − 120)/2,53 = 1,5

Імовірність

P = Φ(1,5) = 0,9332

Відповідь

P = 0,9332

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 241,8 g

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,05

z з таблиці

z ≈ −1,64

Назад до початкових одиниць

x = 250 − 1,64·5 = 241,8 g

Відповідь

x = 241,8 g

9.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 18,93

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 5, t = 4,032

Похибка оцінки

E = 4,032·11,5/√6 = 18,93

Відповідь

E = 18,93

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 39

Виразіть n

n = (2,576·12/5)² = 38,22

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 39

Відповідь

n = 39

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 1,71

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 4/√81 = 4/9 = 0,4444

Статистика критерію

t = (75,76 − 75)/0,4444 = 1,71

Відповідь

t = 1,71

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: β = 16,5 %

Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критичне вибіркове середнє

SE = 30/√100 = 3

x̄_c = 50 + 2,326·3 = 56,98

z при справжньому середньому

z = (56,98 − 59,9)/3 = −0,974

Помилка другого роду

потужність = P(Z > −0,974) = 83,5%

β = 100% − 83,5% = 16,5%

Відповідь

β = 16,5%

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9912

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 624 − 30·86/5 = 108

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 1776 − 86²/5 = 296,8

Коефіцієнт кореляції

r = 108/√(40·296,8) = 0,9912

Відповідь

r = 0,9912

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 4,529

Середні

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 351/6 = 58,5

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 127,5

Лінія регресії

b = 127,5/17,5 = 7,286

a = 58,5 − 7,286·3,5 = 33

ŷ = 33 + 7,286·x

Розв’яжіть щодо x

x = (66 − 33)/7,286 = 4,529

Відповідь

x = 4,529

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 0,1172

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

курці: 60·56/160 = 21, 60·104/160 = 39

некурці: 100·56/160 = 35, 100·104/160 = 65

Статистика хі-квадрат

χ² = (22 − 21)²/21 + (38 − 39)²/39 + (34 − 35)²/35 + (66 − 65)²/65

χ² = 0,1172

Відповідь

χ² = 0,1172

df = 1. При α = 0,05 критичне значення 3,841, тож H₀ (незалежність) не відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ²_crit = 7,815

Ступені вільності

df = 4 − 1 = 3

Таблиця

χ²_crit(df = 3, α = 0,05) = 7,815

Відповідь

χ²_crit = 7,815

Відхиліть H₀, якщо обчислене χ² більше за це значення.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology