Описова статистика
- Середнє
- x̄ = Σx/n
- Вибіркове стандартне відхилення
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медіана
- серединне значення впорядкованих даних
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальний розподіл
- 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ
Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Імовірність
- Протилежна подія
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило додавання
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Незалежні події
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Умовна ймовірність
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Біноміальний розподіл
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальний розподіл
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Менше за x
- P(X < x) = Φ(z)
- Більше за x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Між
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
- Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
- Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
- Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.
Довірчі інтервали
- σ відоме
- x̄ ± z·σ/√n
- σ невідоме
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критичне значення z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Обсяг вибірки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
- Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
- Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
- Інтервал: x̄ ± E.
Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
- z-тест для середнього
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для середнього
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двобічний на рівні 5%
- відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
- Довірчий інтервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
- Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
- Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
- Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.
Лінійна регресія та кореляція
- Суми квадратів
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Нахил
- b = Sxy/Sxx
- Вільний член
- a = ȳ − b·x̄
- Кореляція
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Залишок
- e = y − ŷ
Критерії хі-квадрат
- Статистика критерію
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Узгодженість (goodness of fit)
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Незалежність
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Критичні значення (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Рішення
- відхилити H0, якщо χ² > χ²crit
2Задачі для практики
1.Методи досліджень у психологіїСередня
Який тест підходить для порівняння середніх двох незалежних груп з інтервальними даними, розподіленими приблизно нормально?
- At-тест для незалежних вибірок
- BЗнаково-ранговий тест Вілкоксона
- CКореляція Пірсона
- DТест хі-квадрат
2.Методи досліджень у психологіїСкладна
Чому багато дослідників стверджують, що p-значення слід подавати разом із розмірами ефекту та довірчими інтервалами?
- AРозміри ефекту роблять обсяг вибірки неважливим для значущості
- BДовірчі інтервали потрібні лише в якісних дослідженнях
- CP-значення не показує, наскільки великий чи точно оцінений ефект
- DP-значення показують імовірність того, що гіпотеза правдива
3.Описова статистикаСередня
Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 34, 11, 37, 56, 27, 30.
n = 6
s =
4.Описова статистикаСкладна
Величина розподілена нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 10. Яка частка P значень більша за 160?
μ = 170σ = 10x = 160
P =
5.ІмовірністьСередня
У мішечку 6 червоних і 6 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?
6 / 6
P =
6.ІмовірністьСкладна
Тестують 9 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,1. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?
n = 9p = 0,1
P =
7.Нормальний розподілСередня
Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Яка частка значень лежить між 172,4 і 183,95 cm? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 178σ = 7x1 = 172,4x2 = 183,95
P =
8.Нормальний розподілСкладна
бали за іспит нормально розподілені із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 40% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.
μ = 65 балівσ = 10 балів40%
x = балів
9.Довірчі інтервалиСередня
99 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 25 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 2,8. Якою буде гранична похибка E₂, якщо в тому самому дослідженні використати 50 спостережень?
99%n₁ = 25E₁ = 2,8n₂ = 50
E₂ =
10.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 12. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 0,5?
σ = 12E = 0,595%
n =
11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 81 студентів має середній бал 201,5 і вибіркове стандартне відхилення 8. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 201,5s = 8n = 81
t =
12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Односторонній z-критерій для H₀: μ = 50 проти H₁: μ < 50 виконують на рівні α = 0.01 за вибіркою обсягом 100; стандартне відхилення відоме й дорівнює 5. Насправді середнє дорівнює 48.95. Знайдіть імовірність помилки другого роду β у відсотках.
μ₀ = 50μ = 48,95σ = 5n = 100α = 0,01
β = %
13.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.
n = 5Σx = 20Σy = 323Σx² = 90Σy² = 21083Σxy = 1337
r =
14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 113?
n = 6ŷ = 113
x =
15.Критерії хі-квадратСередня
Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.
N = 1802 × 2
χ² =
16.Критерії хі-квадратСкладна
Таблиця містить спостережувані частоти. Перевірте при α = 0,05, чи дві змінні незалежні (без поправки на неперервність). Обчисліть статистику критерію χ², а потім порівняйте її з критичним значенням з таблиці.
N = 1803 × 2α = 0,05
χ² =
3Розчини
1.Методи досліджень у психології
Відповідь: A · t-тест для незалежних вибірок
Чому це відповідь
t-тест для незалежних вибірок порівнює два групові середні. Хі-квадрат — для частот; Вілкоксон — для пов'язаних вибірок із непараметричними даними.
Відповідь
A · t-тест для незалежних вибірок
2.Методи досліджень у психології
Відповідь: C · P-значення не показує, наскільки великий чи точно оцінений ефект
Чому це відповідь
P-значення сильно залежить від обсягу вибірки й лише показує, наскільки несподіваними є дані за нульової гіпотези. Розміри ефекту показують величину, а інтервали — точність.
Відповідь
C · P-значення не показує, наскільки великий чи точно оцінений ефект
3.Описова статистика
Відповідь: s = 14,65
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Середнє
x̄ = 195/6 = 32,5
Квадрати відхилень
Σ(x − x̄)² = 1,5² + (−21,5)² + 4,5² + 23,5² + (−5,5)² + (−2,5)² = 1074
Стандартне відхилення
s = √(1074/5) = 14,65
Відповідь
s = 14,65
4.Описова статистика
Відповідь: P = 0,8413
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = −1
Таблиця нормального розподілу
Φ(−1) = 0,1587
P = 1 − 0,1587 = 0,8413
Відповідь
P = 0,8413
5.Імовірність
Відповідь: P = 0,2273
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Перше і друге витягування
P = 6/12 · 5/11 = 30/132 = 0,2273
Відповідь
P = 0,2273
6.Імовірність
Відповідь: P = 0,7748
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Нуль і одна відмова
P(X = 0) = 0,99 = 0,3874
P(X = 1) = 9·0,1·0,98 = 0,3874
Додайте
P = 0,3874 + 0,3874 = 0,7748
Відповідь
P = 0,7748
7.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,5905
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z-оцінки
z₁ = (172,4 − 178)/7 = −0,8
z₂ = (183,95 − 178)/7 = 0,85
Площа між
P = Φ(0,85) − Φ(−0,8) = 0,8023 − 0,2119 = 0,5905
Відповідь
P = 0,5905
8.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 62,5 балів
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч
Φ(z) = 0,4
z з таблиці
z ≈ −0,25
Назад до початкових одиниць
x = 65 − 0,25·10 = 62,5 балів
Відповідь
x = 62,5 балів
9.Довірчі інтервали
Відповідь: E₂ = 1,98
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Відношення похибок
E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(25/50) = 0,7071
Нова похибка
E₂ = 2,8·0,7071 = 1,98
Відповідь
E₂ = 1,98
10.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 2213
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (1,96·12/0,5)² = 2213
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 2213
Відповідь
n = 2213
11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = 1,688
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 8/√81 = 8/9 = 0,8889
Статистика критерію
t = (201,5 − 200)/0,8889 = 1,688
Відповідь
t = 1,688
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| < 1.99, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: β = 58,94 %
Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Критичне вибіркове середнє
SE = 5/√100 = 0,5
x̄c = 50 − 2,326·0,5 = 48,84
z при справжньому середньому
z = (48,84 − 48,95)/0,5 = −0,226
Помилка другого роду
потужність = P(Z < −0.226) = 41.06%
β = 100% − 41,06% = 58,94%
Відповідь
β = 58,94%
13.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9656
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 1337 − 20·323/5 = 45
Sxx = 90 − 20²/5 = 10
Syy = 21083 − 323²/5 = 217,2
Коефіцієнт кореляції
r = 45/√(10·217,2) = 0,9656
Відповідь
r = 0,9656
14.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: x = 21,51
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 147/6 = 24,5
ȳ = 775/6 = 129,2
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 850,5
Лінія регресії
b = 850,5/157,5 = 5,4
a = 129,2 − 5,4·24,5 = −3,133
ŷ = −3,133 + 5,4·x
Розв’яжіть щодо x
x = (113 − (−3,133))/5,4 = 21,51
Відповідь
x = 21,51
15.Критерії хі-квадрат
Відповідь: χ² = 8,901
Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.
Очікувані частоти
курці: 120·63/180 = 42, 120·117/180 = 78
некурці: 60·63/180 = 21, 60·117/180 = 39
Статистика хі-квадрат
χ² = (33 − 42)²/42 + (87 − 78)²/78 + (30 − 21)²/21 + (30 − 39)²/39
χ² = 8,901
Відповідь
χ² = 8,901
df = 1. При α = 0,05 критичне значення 3,841, тож H₀ (незалежність) відхиляється.
16.Критерії хі-квадрат
Відповідь: χ² = 2,517
Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.
Очікувані частоти
лінія 1: 16, 24
лінія 2: 32, 48
лінія 3: 24, 36
Статистика хі-квадрат
χ² = (17 − 16)²/16 + (23 − 24)²/24 + (27 − 32)²/32 + (53 − 48)²/48 + (28 − 24)²/24 + (32 − 36)²/36
χ² = 2,517
Рішення
df = 2, χ²crit = 5,991
2,517 < 5,991
Відповідь
χ² = 2,517
χ² нижче за критичне значення, тож H₀ не відхиляється: значущих доказів зв’язку немає.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology