Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Новий опитувальник депресії прогнозує, які студенти звернуться по лікування впродовж наступного року. Це підтверджує який тип валідності?

AПрогностичну валідність
BЗмістову валідність
CОчевидну (face) валідність
DПоточну (concurrent) валідність

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Шкала самозвіту виявляє, що люди, які погоджуються з багатьма твердженнями, набирають високі бали незалежно від змісту. Що це за упередження відповідей і як його зменшити?

AВимоги ситуації; використати подвійний сліпий дизайн
BЕфекти порядку; контрбалансувати учасників
CУпередження соціальної бажаності; використати більшу вибірку
DСхильність до згоди (acquiescence); додати пункти зі зворотним формулюванням

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 17, 11, 15, 11, 20.

n = 5

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 50. Яка частка P значень менша за 440?

μ = 500σ = 50x = 440

P =

5.ІмовірністьСередня

Скількома способами N можна обрати комісію з 2 осіб із групи з 13 осіб? Порядок не має значення.

n = 13k = 2

N =

6.ІмовірністьСкладна

Тестують 6 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,7. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?

n = 6p = 0,7

P =

7.Нормальний розподілСередня

Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Яка частка значень лежить між 57,5 і 77,5 балів? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 65σ = 10x₁ = 57,5x₂ = 77,5

P =

8.Нормальний розподілСкладна

Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 25 % значень (25-й процентиль).

μ = 500σ = 40P = 25%

x = h

9.Довірчі інтервалиСередня

Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 100 телефонів, середнє 106,5 h, відоме стандартне відхилення 15 h. Модель 2: 30 телефонів, середнє 98,5 h, відоме стандартне відхилення 17 h. Знайдіть граничну похибку E 95 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 100x̄₁ = 106,5 hσ₁ = 15 hn₂ = 30x̄₂ = 98,5 hσ₂ = 17 h95%

E = h

10.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 17. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 2,5?

σ = 17E = 2,595%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Порівнюють два методи навчання. Група 1: 12 студентів, середній бал 114, стандартне відхилення 7. Група 2: 5 студентів, середній бал 111,9, стандартне відхилення 5. Вважайте дисперсії генеральних сукупностей рівними й використайте двовибірковий t-критерій з об’єднаною дисперсією. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (група 1 мінус група 2).

n₁ = 12x̄₁ = 114s₁ = 7n₂ = 5x̄₂ = 111,9s₂ = 5

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Якою має бути вибірка, щоб 95 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 0,5? Стандартне відхилення — 8. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.

σ = 8E = 0,595%

n =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 5

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 11?

n = 6ŷ = 11

x =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 1402 × 2

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Таблиця містить спостережувані частоти. Перевірте при α = 0,05, чи дві змінні незалежні (без поправки на неперервність). Обчисліть статистику критерію χ², а потім порівняйте її з критичним значенням з таблиці.

N = 2803 × 2α = 0,05

χ² =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Прогностичну валідність

Чому це відповідь

Прогностичну валідність показано, коли бали прогнозують пізніший критерій. Поточна валідність використовує критерій, виміряний одночасно.

Відповідь

A · Прогностичну валідність

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: D · Схильність до згоди (acquiescence); додати пункти зі зворотним формулюванням

Чому це відповідь

Схильність до згоди — тенденція погоджуватися з пунктами. Якщо поєднувати позитивно й негативно сформульовані пункти, згода з усім уже не дає екстремального бала.

Відповідь

D · Схильність до згоди (acquiescence); додати пункти зі зворотним формулюванням

3.Описова статистика

Відповідь: s = 3,899

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 74/5 = 14,8

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 2,2² + (−3,8)² + 0,2² + (−3,8)² + 5,2² = 60,8

Стандартне відхилення

s = √(60,8/4) = 3,899

Відповідь

s = 3,899

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,1151

Стандартизуйте

z = −1,2

Таблиця нормального розподілу

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 0,1151

Відповідь

P = 0,1151

5.Імовірність

Відповідь: N = 78

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Комбінації

C(13, 2) = (13·12)/(2·1) = 78

Відповідь

N = 78

6.Імовірність

Відповідь: P = 0,01094

Нуль і одна відмова

P(X = 0) = 0,3⁶ = 0,000729

P(X = 1) = 6·0,7·0,3⁵ = 0,01021

Додайте

P = 0,000729 + 0,01021 = 0,01094

Відповідь

P = 0,01094

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,6677

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (57,5 − 65)/10 = −0,75

z₂ = (77,5 − 65)/10 = 1,25

Площа між

P = Φ(1,25) − Φ(−0,75) = 0,8944 − 0,2266 = 0,6677

Відповідь

P = 0,6677

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 473 h

z для процентиля

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Назад до x

x = 500 + −0,6745·40 = 473,02 h

Відповідь

x = 473,02 h

9.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 6,757 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точкова оцінка

x̄₁ − x̄₂ = 106,5 − 98,5 = 8

Стандартна похибка

SE = √(15²/100 + 17²/30) = 3,447

Похибка оцінки

E = 1,96·3,447 = 6,757

Відповідь

E = 6,757 h

Інтервал не містить 0, тож середні значуще відрізняються.

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 178

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (1,96·17/2,5)² = 177,6

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 178

Відповідь

n = 178

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 0,6045

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Об’єднана дисперсія

s_p² = (11·7² + 4·5²)/15 = 42,6

s_p = 6,527

Стандартна похибка

SE = 6,527·√(1/12 + 1/5) = 3,474

Статистика критерію

t = (114 − 111,9)/3,474 = 0,6045

Відповідь

t = 0,6045

При df = 15 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,131; |t| менше, тож H₀ не відхиляється.

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 984

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Виразіть n

n = (1,96·8/0,5)² = 983,4

Округліть угору

n = 984

Відповідь

n = 984

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,8689

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 203/5 = 40,6

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 30

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 119,2

Коефіцієнт кореляції

r = 30/√(10·119,2) = 0,8689

Відповідь

r = 0,8689

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 4,393

Середні

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 83/6 = 13,83

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −55,5

Лінія регресії

b = −55,5/17,5 = −3,171

a = 13,83 − (−3,171)·3,5 = 24,93

ŷ = 24,93 − 3,171·x

Розв’яжіть щодо x

x = (11 − 24,93)/(−3,171) = 4,393

Відповідь

x = 4,393

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 22,15

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

чоловіки: 100·49/140 = 35, 100·91/140 = 65

жінки: 40·49/140 = 14, 40·91/140 = 26

Статистика хі-квадрат

χ² = (47 − 35)²/35 + (53 − 65)²/65 + (2 − 14)²/14 + (38 − 26)²/26

χ² = 22,15

Відповідь

χ² = 22,15

df = 1. При α = 0,05 критичне значення 3,841, тож H₀ (незалежність) відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 6,427

Очікувані частоти

завод A: 60, 40

завод B: 60, 40

завод C: 48, 32

Статистика хі-квадрат

χ² = (58 − 60)²/60 + (42 − 40)²/40 + (53 − 60)²/60 + (47 − 40)²/40 + (57 − 48)²/48 + (23 − 32)²/32

χ² = 6,427

Рішення

df = 2, χ²_crit = 5,991

6,427 > 5,991

Відповідь

χ² = 6,427

χ² вище за критичне значення, тож H₀ відхиляється: змінні, схоже, пов’язані.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology