Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Дослідник хоче перевірити, чи є зв'язок між статтю (чоловіча/жіноча) і улюбленим жанром фільмів (чотири категорії). Який тест доречний?

AОднофакторний ANOVA
BКореляція Пірсона
CПарний t-тест
DТест хі-квадрат на незалежність

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Двоє спостерігачів фіксують агресивні дії на ігровому майданчику, і їхні підрахунки корелюють на рівні r = 0,45. Що має зробити дослідник?

AПерейти до односторонньої гіпотези
BВикористовувати лише більший із двох підрахунків
CПрийняти дані, бо будь-якої позитивної кореляції достатньо
DУточнити категорії поведінки, навчити спостерігачів і знову перевірити узгодженість

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 32, 17, 44, 45, 10, 60, 42.

n = 7

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 15. Яка частка P значень більша за 47,5?

μ = 70σ = 15x = 47,5

P =

5.ІмовірністьСередня

Скількома способами N можна обрати комісію з 5 осіб із групи з 9 осіб? Порядок не має значення.

n = 9k = 5

N =

6.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = 3X + 1. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,2, 0,1, 0,15, 0,35, 0,2Y = 3X + 1

σ_Y =

7.Нормальний розподілСередня

X нормальна із середнім 120 mm і середнім квадратичним відхиленням 0,3 mm; Y незалежна й нормальна із середнім 80 mm і середнім квадратичним відхиленням 0,4 mm. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 200,6 mm. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 200,6 mm

P =

8.Нормальний розподілСкладна

Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 80 % значень (80-й процентиль).

μ = 250σ = 5P = 80%

x = g

9.Довірчі інтервалиСередня

90 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 100 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 5,9. Якою буде гранична похибка E₂ 99 % інтервалу за 400 спостереженнями?

90%n₁ = 100E₁ = 5,999%n₂ = 400

E₂ =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 29. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 4?

σ = 29E = 499%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 100 студентів має середній бал 122,9 і вибіркове стандартне відхилення 10. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 122,9s = 10n = 100

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 25 вимірювань має середнє 116. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 20. Знайдіть нижню межу L 95 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 116σ = 20n = 2595%

L =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 5

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 3.

n = 5x = 3

ŷ =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 1602 × 3

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Таблиця містить спостережувані частоти. Перевірте при α = 0,01, чи дві змінні незалежні (без поправки на неперервність). Обчисліть статистику критерію χ², а потім порівняйте її з критичним значенням з таблиці.

N = 2203 × 2α = 0,01

χ² =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: D · Тест хі-квадрат на незалежність

Чому це відповідь

Тест хі-квадрат порівнює спостережувані частоти з очікуваними в таблиці спряженості, щоб перевірити, чи пов'язані дві категоріальні змінні.

Відповідь

D · Тест хі-квадрат на незалежність

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: D · Уточнити категорії поведінки, навчити спостерігачів і знову перевірити узгодженість

Чому це відповідь

Низька надійність між спостерігачами означає, що категорії застосовують непослідовно. Чіткіші операційні визначення й тренувальні сесії мають підвищити узгодженість до основного збирання даних.

Відповідь

D · Уточнити категорії поведінки, навчити спостерігачів і знову перевірити узгодженість

3.Описова статистика

Відповідь: s = 17,37

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 250/7 = 35,71

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−3,714)² + (−18,71)² + 8,286² + 9,286² + (−25,71)² + 24,29² + 6,286² = 1809

Стандартне відхилення

s = √(1809/6) = 17,37

Відповідь

s = 17,37

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,9332

Стандартизуйте

z = −1,5

Таблиця нормального розподілу

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 1 − 0,06681 = 0,9332

Відповідь

P = 0,9332

5.Імовірність

Відповідь: N = 126

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Комбінації

C(9, 5) = (9·8·7·6·5)/(5·4·3·2·1) = 126

Відповідь

N = 126

6.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 4,229

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Розкид X

μ = 3,25, Var(X) = 1,988, σ_X = 1,41

Лінійна зміна

σ_Y = |3|·1,41 = 4,229

Відповідь

σ_Y = 4,229

Середнє таки зсувається: E(Y) = 3·3,25 + 1 = 10,75.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,1151

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

Стандартизуйте

z = (200,6 − 200)/0,5 = 1,2

Верхній хвіст

P = 1 − Φ(1,2) = 1 − 0,8849 = 0,1151

Відповідь

P = 0,1151

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 254,2 g

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

Назад до x

x = 250 + 0,8416·5 = 254,21 g

Відповідь

x = 254,21 g

9.Довірчі інтервали

Відповідь: E₂ = 4,62

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Відношення похибок

E₂/E₁ = (2,576/1,645)·√(100/400) = 0,783

Нова похибка

E₂ = 5,9·0,783 = 4,62

Відповідь

E₂ = 4,62

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 349

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (2,576·29/4)² = 348,8

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 349

Відповідь

n = 349

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 2,9

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 10/√100 = 10/10 = 1

Статистика критерію

t = (122,9 − 120)/1 = 2,9

Відповідь

t = 2,9

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: L = 108,2

Похибка оцінки

E = 1,96·20/√25 = 7,84

Межа інтервалу

L = 116 − 7,84 = 108,2

Відповідь

L = 108,2

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9916

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 445/5 = 89

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 236

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1416

Коефіцієнт кореляції

r = 236/√(40·1416) = 0,9916

Відповідь

r = 0,9916

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 8,35

Середні

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 92/5 = 18,4

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 134

Лінія регресії

b = 134/40 = 3,35

a = 18,4 − 3,35·6 = −1,7

ŷ = −1,7 + 3,35·x

Прогноз

ŷ = −1,7 + 3,35·3 = 8,35

Відповідь

ŷ = 8,35

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 9,429

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

денна зміна: 40·32/160 = 8, 40·72/160 = 18, 40·56/160 = 14

нічна зміна: 120·32/160 = 24, 120·72/160 = 54, 120·56/160 = 42

Статистика хі-квадрат

χ² = (6 − 8)²/8 + (12 − 18)²/18 + (22 − 14)²/14 + (26 − 24)²/24 + (60 − 54)²/54 + (34 − 42)²/42

χ² = 9,429

Відповідь

χ² = 9,429

df = 2. При α = 0,05 критичне значення 5,991, тож H₀ (незалежність) відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 8,4

Очікувані частоти

вік 18–30: 40, 40

вік 31–50: 50, 50

вік 51+: 20, 20

Статистика хі-квадрат

χ² = (44 − 40)²/40 + (36 − 40)²/40 + (40 − 50)²/50 + (60 − 50)²/50 + (26 − 20)²/20 + (14 − 20)²/20

χ² = 8,4

Рішення

df = 2, χ²_crit = 9,210

8,4 < 9,210

Відповідь

χ² = 8,4

χ² нижче за критичне значення, тож H₀ не відхиляється: значущих доказів зв’язку немає.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology