Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Внутрішня валідність означає:

AЧи вважали учасники дослідження цікавим
BЧи дає тест однакові результати з часом
CЧи узагальнюються результати за межі дослідження на інші популяції, умови та часи
DЧи справді спостережуваний ефект спричинила НЗ, а не інші чинники

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Дослідження виявляє, що вплив стресу на захворюваність слабший у людей із сильною соціальною підтримкою. Соціальна підтримка виступає як:

AЗмішувальна змінна
BМедіатор
CЗалежна змінна
DМодератор

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 31, 23, 17, 56, 24, 11, 18.

n = 7

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 50 і стандартним відхиленням 5. Яка частка P значень більша за 46?

μ = 50σ = 5x = 46

P =

5.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,3, 0,05, 0,3

Var(X) =

6.ІмовірністьСкладна

Тестують 6 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,25. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?

n = 6p = 0,25

P =

7.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,0749. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,0749

z =

8.Нормальний розподілСкладна

результати IQ-тестів нормально розподілені із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 95% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 100 балівσ = 15 балів95%

x = балів

9.Довірчі інтервалиСередня

Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 50 телефонів, середнє 46 h, відоме стандартне відхилення 5 h. Модель 2: 50 телефонів, середнє 51 h, відоме стандартне відхилення 10 h. Знайдіть граничну похибку E 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 50x̄₁ = 46 hσ₁ = 5 hn₂ = 50x̄₂ = 51 hσ₂ = 10 h99%

E = h

10.Довірчі інтервалиСкладна

Про частку бракованих виробів наперед нічого не відомо. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 99 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,02?

p = 0,5E = 0,0299%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

7 працівників проходять тест на швидкість друку до й після навчального курсу. Для кожного записують різницю d = після − до (слів за хвилину). Середня різниця 3,17, стандартне відхилення різниць 4,2. Знайдіть статистику парного критерію t для H₀: μ_d = 0.

n = 7d̄ = 3,17s_d = 4,2

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

У випробуванні одужують 25 з 100 пацієнтів, які отримували лікування A, і 29 з 80 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 25n₁ = 100x₂ = 29n₂ = 80

z =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 5

r² =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (2,5, 20). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 5(2,5, 20)

e =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 802 × 2

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій незалежності хі-квадрат застосовують до таблиці спряженості з 2 рядками й 5 стовпцями (без урахування підсумків). Скільки ступенів вільності df має критерій?

2 × 5

df =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: D · Чи справді спостережуваний ефект спричинила НЗ, а не інші чинники

Чому це відповідь

Висока внутрішня валідність означає, що альтернативні пояснення, як-от змішувальні змінні, вимоги ситуації чи упередженість експериментатора, виключено. Зовнішня валідність стосується узагальнення.

Відповідь

D · Чи справді спостережуваний ефект спричинила НЗ, а не інші чинники

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: D · Модератор

Чому це відповідь

Модератор змінює силу чи напрям зв'язку між двома змінними. Медіатор пояснює механізм, через який одна змінна впливає на іншу.

Відповідь

D · Модератор

3.Описова статистика

Відповідь: s = 14,76

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 180/7 = 25,71

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 5,286² + (−2,714)² + (−8,714)² + 30,29² + (−1,714)² + (−14,71)² + (−7,714)² = 1307

Стандартне відхилення

s = √(1307/6) = 14,76

Відповідь

s = 14,76

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,7881

Стандартизуйте

z = −0,8

Таблиця нормального розподілу

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 1 − 0,2119 = 0,7881

Відповідь

P = 0,7881

5.Імовірність

Відповідь: Var(X) = 6,04

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,35 + 2·0,3 + 4·0,05 + 6·0,3 = 2,6

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,35 + 4·0,3 + 16·0,05 + 36·0,3 = 12,8

Дисперсія

Var(X) = 12,8 − 2,6² = 6,04

Відповідь

Var(X) = 6,04

6.Імовірність

Відповідь: P = 0,5339

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Нуль і одна відмова

P(X = 0) = 0,75⁶ = 0,178

P(X = 1) = 6·0,25·0,75⁵ = 0,356

Додайте

P = 0,178 + 0,356 = 0,5339

Відповідь

P = 0,5339

7.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 1,44

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = 1 − 0,0749 = 0,9251

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,9251 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 1,44

Відповідь

z = 1,44

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 124,6 балів

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,95

z з таблиці

z ≈ 1,64

Назад до початкових одиниць

x = 100 + 1,64·15 = 124,6 балів

Відповідь

x = 124,6 балів

9.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 4,073 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точкова оцінка

x̄₁ − x̄₂ = 46 − 51 = −5

Стандартна похибка

SE = √(5²/50 + 10²/50) = 1,581

Похибка оцінки

E = 2,576·1,581 = 4,073

Відповідь

E = 4,073 h

Інтервал не містить 0, тож середні значуще відрізняються.

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 4148

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Виразіть n

n = 2,576²·0,5·0,5/0,02² = 4147

Округліть угору

n = 4148

Відповідь

n = 4148

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 1,997

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Стандартна похибка середньої різниці

SE = 4,2/√7 = 1,587

Статистика критерію

t = 3,17/1,587 = 1,997

Відповідь

t = 1,997

При df = 6 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,447; |t| менше, тож H₀ не відхиляється.

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = −1,637

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Вибіркові частки

p̂₁ = 25/100 = 0,25

p̂₂ = 29/80 = 0,3625

p̂ = 54/180 = 0,3

Стандартна похибка за H₀

SE = √(0,3·0,7·(1/100 + 1/80)) = 0,06874

Статистика критерію

z = (0,25 − 0,3625)/0,06874 = −1,637

Відповідь

z = −1,637

|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9817

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 82/5 = 16,4

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 88

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 197,2

Коефіцієнт детермінації

r² = 88²/(40·197,2) = 0,9817

Відповідь

r² = 0,9817

Близько 98,17% варіації y пояснюється прямою.

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = 2,5

Середні

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 80/5 = 16

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30

Лінія регресії

b = −30/10 = −3

a = 16 − (−3)·3 = 25

ŷ = 25 − 3·x

Прогнозоване значення

ŷ = 25 + (−3)·2,5 = 17,5

Залишок

e = 20 − 17,5 = 2,5

Відповідь

e = 2,5

Точка лежить вище прямої.

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 0,8791

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

чоловіки: 40·28/80 = 14, 40·52/80 = 26

жінки: 40·28/80 = 14, 40·52/80 = 26

Статистика хі-квадрат

χ² = (12 − 14)²/14 + (28 − 26)²/26 + (16 − 14)²/14 + (24 − 26)²/26

χ² = 0,8791

Відповідь

χ² = 0,8791

df = 1. При α = 0,05 критичне значення 3,841, тож H₀ (незалежність) не відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: df = 4

Ступені вільності

df = (2 − 1)·(5 − 1) = 4

Відповідь

df = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology