Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Стандартизовані інструкції використовують в експерименті, щоб:

AРезультати стали статистично значущими
BУчасники могли самі обирати умови
CУсі учасники отримували ту саму інформацію в той самий спосіб
DДослідник міг пристосовувати процедуру до потреб кожного учасника

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Дослідник хоче показати, що нова шкала тривожності вимірює щось відмінне від депресії. Низькі кореляції зі шкалою депресії підтвердили б:

AДискримінантну валідність
BКонвергентну валідність
CОчевидну (face) валідність
DПрогностичну валідність

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 30, 49, 41, 43, 48, 40.

n = 6

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 15. Яка частка P значень більша за 78,75?

μ = 60σ = 15x = 78,75

P =

5.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,15, 0,3, 0,1, 0,3

Var(X) =

6.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €2. Ви виграєте €10 з імовірністю 0,25 і €40 з імовірністю 0,02; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €2€10: p = 0,25€40: p = 0,02

E(G) = €

7.Нормальний розподілСередня

Маси мішки цементу незалежні та нормальні із середнім 25 kg і середнім квадратичним відхиленням 0,5 kg. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 5 з них менша за 123,9 kg. Округліть z до двох знаків після коми.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 5< 123.9 kg

P =

8.Нормальний розподілСкладна

Нехай тривалості доставки розподілені нормально із середнім 32 min і стандартним відхиленням 6 min. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 80 % значень (80-й процентиль).

μ = 32σ = 6P = 80%

x = min

9.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 9 елементів має середнє 78,5 і стандартне відхилення s = 15,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 95 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 9x̄ = 78,5s = 15,595%t(8) = 2,306

верхня межа =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 8 ділянок, середній урожай 41 kg, стандартне відхилення 1 kg. Група ділянок 2: 8 ділянок, середнє 42,5 kg, стандартне відхилення 3 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть граничну похибку E 90 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 8x̄₁ = 41s₁ = 1n₂ = 8x̄₂ = 42,5s₂ = 390%t(14) = 1,761

E = kg

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 16 студентів має середній бал 77,4 і вибіркове стандартне відхилення 8. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 77,4s = 8n = 16

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 25 вимірювань має середнє 495,4. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 10. Знайдіть верхню межу U 90 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 495,4σ = 10n = 2590%

U =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 6

r² =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 19.

n = 5x = 19

ŷ =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 1602 × 3

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій узгодженості хі-квадрат перевіряє, чи частоти в 8 категоріях відповідають розподілу Пуассона, середнє якого оцінено з тих самих даних. За таблицею знайдіть критичне значення χ²_crit при рівні значущості α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: C · Усі учасники отримували ту саму інформацію в той самий спосіб

Чому це відповідь

Стандартизація усуває варіювання процедури як сторонню змінну й робить дослідження відтворюваним.

Відповідь

C · Усі учасники отримували ту саму інформацію в той самий спосіб

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Дискримінантну валідність

Чому це відповідь

Дискримінантну (дивергентну) валідність показано, коли інструмент слабко корелює з інструментами для інших конструктів. Конвергентна валідність — це висока кореляція з інструментами для того самого конструкту.

Відповідь

A · Дискримінантну валідність

3.Описова статистика

Відповідь: s = 6,853

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 251/6 = 41,83

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−11,83)² + 7,167² + (−0,8333)² + 1,167² + 6,167² + (−1,833)² = 234,8

Стандартне відхилення

s = √(234,8/5) = 6,853

Відповідь

s = 6,853

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,1056

Стандартизуйте

z = 1,25

Таблиця нормального розподілу

Φ(1,25) = 0,8944

P = 1 − 0,8944 = 0,1056

Відповідь

P = 0,1056

5.Імовірність

Відповідь: Var(X) = 1,987

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,15 + 1·0,15 + 2·0,3 + 3·0,1 + 4·0,3 = 2,25

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,15 + 1·0,15 + 4·0,3 + 9·0,1 + 16·0,3 = 7,05

Дисперсія

Var(X) = 7,05 − 2,25² = 1,987

Відповідь

Var(X) = 1,987

6.Імовірність

Відповідь: E(G) = 1,3 €

Чисті результати

G: 8 (p = 0,25), 38 (p = 0,02), −2 (p = 0,73)

Математичне сподівання

E(G) = 8·0,25 + 38·0,02 − 2·0,73 = 1,3 €

Відповідь

E(G) = 1,3 €

Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,1635

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ_T = 125 kg, σ_T = 0,5·√5 = 1,118 kg

Стандартизуйте

z = (123,9 − 125)/1,118 = −0,98

Імовірність

P = Φ(−0,98) = 0,1635

Відповідь

P = 0,1635

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 37,05 min

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

Назад до x

x = 32 + 0,8416·6 = 37,05 min

Відповідь

x = 37,05 min

9.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 90,41

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 8, t = 2,306

Похибка оцінки

E = 2,306·15,5/√9 = 11,91

Інтервал

78,5 ± 11,91 → [66,59, 90,41]

Відповідь

верхня межа = 90,41

10.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 1,969 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (7·1² + 7·3²)/14 = 5

s_p = 2,236

Похибка оцінки

E = 1,761·2,236·√(1/8 + 1/8) = 1,969

Відповідь

E = 1,969 kg

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 1,2

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 8/√16 = 8/4 = 2

Статистика критерію

t = (77,4 − 75)/2 = 1,2

Відповідь

t = 1,2

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: U = 498,7

Похибка оцінки

E = 1,645·10/√25 = 3,29

Межа інтервалу

U = 495,4 + 3,29 = 498,7

Відповідь

U = 498,7

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9135

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 113/6 = 18,83

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −35,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 78,83

Коефіцієнт детермінації

r² = −35,5²/(17,5·78,83) = 0,9135

Відповідь

r² = 0,9135

Близько 91,35% варіації y пояснюється прямою.

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 115,7

Середні

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 609/5 = 121,8

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 244

Лінія регресії

b = 244/40 = 6,1

a = 121,8 − 6,1·20 = −0,2

ŷ = −0,2 + 6,1·x

Прогноз

ŷ = −0,2 + 6,1·19 = 115,7

Відповідь

ŷ = 115,7

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 6,7

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

студенти: 80·32/160 = 16, 80·48/160 = 24, 80·80/160 = 40

працівники: 80·32/160 = 16, 80·48/160 = 24, 80·80/160 = 40

Статистика хі-квадрат

χ² = (14 − 16)²/16 + (18 − 24)²/24 + (48 − 40)²/40 + (18 − 16)²/16 + (30 − 24)²/24 + (32 − 40)²/40

χ² = 6,7

Відповідь

χ² = 6,7

df = 2. При α = 0,05 критичне значення 5,991, тож H₀ (незалежність) відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ²_crit = 12,59

Ступені вільності

df = 8 − 1 − 1 = 6

Таблиця

χ²_crit(df = 6, α = 0,05) = 12,592

Відповідь

χ²_crit = 12,592

Відхиліть H₀, якщо обчислене χ² більше за це значення.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology