Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Дослідник порівнює агресивність дітей до і після появи телебачення у віддаленому містечку. Дослідник не контролював появи телебачення. Це:

AЛабораторний експеримент
BПриродний експеримент
CПольовий експеримент
DКореляційне опитування щодо перегляду телебачення

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

В обґрунтованій теорії (grounded theory) збирання даних триває, доки:

AНе опитано щонайменше 1,000 учасників
BНе отримано p-значення нижче 0,05
CНе досягнуто теоретичного насичення і нові дані не додають нових категорій
DНе підтверджено початкову гіпотезу

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 32, 24, 18, 56, 19, 23, 42.

n = 7

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 15. Яка частка P значень більша за 48?

μ = 60σ = 15x = 48

P =

5.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,2, 0,25, 0,3

σ =

6.ІмовірністьСкладна

Тестують 11 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,7. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?

n = 11p = 0,7

P =

7.Нормальний розподілСередня

Маси болти незалежні та нормальні із середнім 40 g і середнім квадратичним відхиленням 1,2 g. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 9 з них перевищує 361,8 g. Округліть z до двох знаків після коми.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 9> 361,8 g

P =

8.Нормальний розподілСкладна

Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,03 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,01 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,02 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.

отвір: μ = 25,03 mm, σ = 0,01 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

9.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 20 елементів має середнє 87,5 і стандартне відхилення s = 7,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 99 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 20x̄ = 87,5s = 7,599%t(19) = 2,861

E =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 15. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 90 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 1,5?

σ = 15E = 1,590%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 80 деталей має середню довжину 78,5 mm, відоме стандартне відхилення лінії 7 mm. Лінія 2: вибірка з 40 деталей має середнє 86,9 mm, відоме стандартне відхилення 19 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).

n₁ = 80x̄₁ = 78,5 mmσ₁ = 7 mmn₂ = 40x̄₂ = 86,9 mmσ₂ = 19 mm

z =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

У випробуванні одужують 45 з 300 пацієнтів, які отримували лікування A, і 12 з 150 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 45n₁ = 300x₂ = 12n₂ = 150

z =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 5

r² =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 1,5.

n = 6x = 1,5

ŷ =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Для критерію незалежності хі-квадрат знайдіть очікувану частоту E для клітинки «денна зміна, без дефекту».

сума рядка = 85сума стовпця = 61N = 154

E =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Таблиця містить спостережувані частоти. Перевірте при α = 0,01, чи дві змінні незалежні (без поправки на неперервність). Обчисліть статистику критерію χ², а потім порівняйте її з критичним значенням з таблиці.

N = 2003 × 2α = 0,01

χ² =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: B · Природний експеримент

Чому це відповідь

У природному експерименті НЗ змінюється через події поза контролем дослідника. Екологічна валідність висока, але випадковий розподіл неможливий.

Відповідь

B · Природний експеримент

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: C · Не досягнуто теоретичного насичення і нові дані не додають нових категорій

Чому це відповідь

Обґрунтована теорія розвиває теорію індуктивно, збираючи й кодуючи дані одночасно, і припиняє формування вибірки, коли нові дані вже не розвивають категорій.

Відповідь

C · Не досягнуто теоретичного насичення і нові дані не додають нових категорій

3.Описова статистика

Відповідь: s = 13,97

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 214/7 = 30,57

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 1,429² + (−6,571)² + (−12,57)² + 25,43² + (−11,57)² + (−7,571)² + 11,43² = 1172

Стандартне відхилення

s = √(1172/6) = 13,97

Відповідь

s = 13,97

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,7881

Стандартизуйте

z = −0,8

Таблиця нормального розподілу

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 1 − 0,2119 = 0,7881

Відповідь

P = 0,7881

5.Імовірність

Відповідь: σ = 1,158

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 1·0,25 + 2·0,2 + 3·0,25 + 4·0,3 = 2,6

Середнє квадратів

E(X²) = 1·0,25 + 4·0,2 + 9·0,25 + 16·0,3 = 8,1

Дисперсія

Var(X) = 8,1 − 2,6² = 1,34

σ = √1,34 = 1,158

Відповідь

σ = 1,158

6.Імовірність

Відповідь: P = 4,724 × 10⁻⁵

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Нуль і одна відмова

P(X = 0) = 0,3¹¹ = 1,771 × 10⁻⁶

P(X = 1) = 11·0,7·0,3¹⁰ = 4,547 × 10⁻⁵

Додайте

P = 1,771 × 10⁻⁶ + 4,547 × 10⁻⁵ = 4,724 × 10⁻⁵

Відповідь

P = 4,724 × 10⁻⁵

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,3085

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ_T = 360 g, σ_T = 1,2·√9 = 3,6 g

Стандартизуйте

z = (361,8 − 360)/3,6 = 0,5

Імовірність

P = 1 − Φ(0,5) = 0,3085

Відповідь

P = 0,3085

8.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9099

Розподіл різниці

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,02236 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,03)/0,02236 = −1,34

Імовірність

P = 1 − Φ(−1,34) = 0,9099

Відповідь

P = 0,9099

9.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 4,798

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 19, t = 2,861

Похибка оцінки

E = 2,861·7,5/√20 = 4,798

Відповідь

E = 4,798

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 271

Виразіть n

n = (1,645·15/1,5)² = 270,6

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 271

Відповідь

n = 271

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = −2,706

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартна похибка різниці

SE = √(7²/80 + 19²/40) = √9,638 = 3,104

Статистика критерію

z = (78,5 − 86,9)/3,104 = −2,706

Відповідь

z = −2,706

|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = 2,105

Вибіркові частки

p̂₁ = 45/300 = 0,15

p̂₂ = 12/150 = 0,08

p̂ = 57/450 = 0,1267

Стандартна похибка за H₀

SE = √(0,1267·0,8733·(1/300 + 1/150)) = 0,03326

Статистика критерію

z = (0,15 − 0,08)/0,03326 = 2,105

Відповідь

z = 2,105

|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,8963

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 107/5 = 21,4

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −21

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 49,2

Коефіцієнт детермінації

r² = −21²/(10·49,2) = 0,8963

Відповідь

r² = 0,8963

Близько 89,63% варіації y пояснюється прямою.

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 23,3

Середні

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 123/6 = 20,5

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −24,5

Лінія регресії

b = −24,5/17,5 = −1,4

a = 20,5 − (−1,4)·3,5 = 25,4

ŷ = 25,4 − 1,4·x

Прогноз

ŷ = 25,4 + (−1,4)·1,5 = 23,3

Відповідь

ŷ = 23,3

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: E = 33,67

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувана частота

E = 85·61/154 = 33,67

Відповідь

E = 33,67

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 47,03

Очікувані частоти

завод A: 64, 16

завод B: 32, 8

завод C: 64, 16

Статистика хі-квадрат

χ² = (77 − 64)²/64 + (3 − 16)²/16 + (38 − 32)²/32 + (2 − 8)²/8 + (45 − 64)²/64 + (35 − 16)²/16

χ² = 47,03

Рішення

df = 2, χ²_crit = 9,210

47,03 > 9,210

Відповідь

χ² = 47,03

χ² вище за критичне значення, тож H₀ відхиляється: змінні, схоже, пов’язані.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology