Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє
x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана
серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл
68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія
P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Менше за x
P(X < x) = Φ(z)
Більше за x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
  2. Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
  3. Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
  4. Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме
x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
  2. Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
  3. Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
  4. Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для середнього
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%
відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
  2. Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
  3. Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
  4. Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил
b = Sxy/Sxx
Вільний член
a = ȳ − b·x̄
Кореляція
r = Sxy/√(SxxSyy)
Залишок
e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію
χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit)
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення
відхилити H0, якщо χ² > χ²crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Ті самі 25 учасників виконують тест пам'яті до і після вживання кофеїну. Бали інтервальні й приблизно нормальні. Який тест доречний?

  1. AU-тест Манна–Вітні
  2. Bt-тест для незалежних вибірок
  3. Ct-тест для парних (пов'язаних) вибірок
  4. DТест хі-квадрат
2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Фізичні вправи зменшують депресію, і цей ефект виникає тому, що вправи покращують сон, а він, своєю чергою, знижує депресію. Сон найкраще описати як:

  1. AМедіатор
  2. BМодератор
  3. CКонтрольовану змінну
  4. DСторонню змінну
3.Описова статистикаСередня
202530354045

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 22, 20, 30, 48, 17.

n = 5
s =
4.Описова статистикаСкладна
z −2−1012

Величина розподілена нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 15. Яка частка P значень менша за 188,8?

μ = 170σ = 15x = 188,8
P =
5.ІмовірністьСередня
xp(x)100,25200,3300,15400,3μ = 25

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,25, 0,3, 0,15, 0,3
σ =
6.ІмовірністьСкладна
n = 7, p = 0,2: P(X = 2) = ?k01234567

Тест має 7 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,2, незалежно. Яка ймовірність P рівно 2 правильних відповідей?

n = 7p = 0,2k = 2
P =
7.Нормальний розподілСередня
−3−2−10123zзаштрихована площа праворуч від z = 0,1562

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,1562. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,1562
z =
8.Нормальний розподілСкладна
157164171178185192199cmниз 25%

значення зросту дорослих чоловіків нормально розподілені із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 25% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 178 cmσ = 7 cm25%
x = cm
9.Довірчі інтервалиСередня
n = 10, s = 15,5LU = ?x̄ = 53,5E95%

Вибірка з 10 елементів має середнє 53,5 і стандартне відхилення s = 15,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 95 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 10x̄ = 53,5s = 15,595%t(9) = 2,262
верхня межа =
10.Довірчі інтервалиСкладна
σ = 29, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 199%

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 29. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 1?

σ = 29E = 199%
n =
11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
t −2,01102,011

Вибірка з 49 студентів має середній бал 48,51 і вибіркове стандартне відхилення 4. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 48,51s = 4n = 49
t =
12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
−1,961,96z = ?

У випробуванні одужують 50 з 200 пацієнтів, які отримували лікування A, і 23 з 150 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 50n₁ = 200x₂ = 23n₂ = 150
z =
13.Лінійна регресія та кореляціяСередня
xy234339446552652xy2464050

Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 5Σx = 20Σy = 223Σx² = 90Σy² = 10201Σxy = 941
r =
14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
xy127223320418513xy24152025x = 2,5

Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (2,5, 18). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 5(2,5, 18)
e =
15.Критерії хі-квадратСередня
такніРазомчоловіки324880жінки5842100Разом9090180

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 1802 × 2
χ² =
16.Критерії хі-квадратСкладна
dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Критерій узгодженості хі-квадрат перевіряє, чи частоти в 5 категоріях відповідають розподілу Пуассона, середнє якого оцінено з тих самих даних. За таблицею знайдіть критичне значення χ²crit при рівні значущості α = 0,01.

α = 0,01
χ²crit =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: C · t-тест для парних (пов'язаних) вибірок

Чому це відповідь

Парний t-тест порівнює середні тих самих учасників у двох умовах, використовуючи різниці в межах кожної особи.

Відповідь

C · t-тест для парних (пов'язаних) вибірок
2.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Медіатор

Чому це відповідь

Медіатор лежить на причинному шляху між предиктором і результатом, пояснюючи, як або чому виникає ефект.

Відповідь

A · Медіатор
3.Описова статистика

Відповідь: s = 12,48

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 137/5 = 27,4

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−5,4)² + (−7,4)² + 2,6² + 20,6² + (−10,4)² = 623,2

Стандартне відхилення

s = √(623,2/4) = 12,48

Відповідь

s = 12,48
4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,8944

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Стандартизуйте

z = 1,25

Таблиця нормального розподілу

Φ(1,25) = 0,8944
P = 0,8944

Відповідь

P = 0,8944
5.Імовірність

Відповідь: σ = 11,62

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 10·0,25 + 20·0,3 + 30·0,15 + 40·0,3 = 25

Середнє квадратів

E(X²) = 100·0,25 + 400·0,3 + 900·0,15 + 1600·0,3 = 760

Дисперсія

Var(X) = 760 − 25² = 135
σ = √135 = 11,62

Відповідь

σ = 11,62
6.Імовірність

Відповідь: P = 0,2753

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Біноміальна формула

P(X = 2) = 21·0,22·0,85 = 21·0,04·0,3277 = 0,2753

Відповідь

P = 0,2753
7.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 1,01

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = 1 − 0,1562 = 0,8438

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,8438 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 1,01

Відповідь

z = 1,01
8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 173,3 cm

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,25

z з таблиці

z ≈ −0,67

Назад до початкових одиниць

x = 178 − 0,67·7 = 173,3 cm

Відповідь

x = 173,3 cm
9.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 64,59

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 9, t = 2,262

Похибка оцінки

E = 2,262·15,5/√10 = 11,09

Інтервал

53,5 ± 11,09 → [42,41, 64,59]

Відповідь

верхня межа = 64,59
10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 5581

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (2,576·29/1)² = 5581

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 5581

Відповідь

n = 5581
11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −2,608

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 4/√49 = 4/7 = 0,5714

Статистика критерію

t = (48,51 − 50)/0,5714 = −2,608

Відповідь

t = −2,608
t0,025; df = 48 = 2,011

|t| > 2,011, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = 2,203

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Вибіркові частки

p̂₁ = 50/200 = 0,25
p̂₂ = 23/150 = 0,1533
p̂ = 73/350 = 0,2086

Стандартна похибка за H₀

SE = √(0,2086·0,7914·(1/200 + 1/150)) = 0,04388

Статистика критерію

z = (0,25 − 0,1533)/0,04388 = 2,203

Відповідь

z = 2,203

|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,97

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

Sxy = 941 − 20·223/5 = 49
Sxx = 90 − 20²/5 = 10
Syy = 10201 − 223²/5 = 255,2

Коефіцієнт кореляції

r = 49/√(10·255,2) = 0,97

Відповідь

r = 0,97
14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = −3,85

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 101/5 = 20,2

Суми квадратів і добутків

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −33

Лінія регресії

b = −33/10 = −3,3
a = 20,2 − (−3,3)·3 = 30,1
ŷ = 30,1 − 3,3·x

Прогнозоване значення

ŷ = 30,1 + (−3,3)·2,5 = 21,85

Залишок

e = 18 − 21,85 = −3,85

Відповідь

e = −3,85

Точка лежить нижче прямої.

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 5,76

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

чоловіки: 80·90/180 = 40, 80·90/180 = 40
жінки: 100·90/180 = 50, 100·90/180 = 50

Статистика хі-квадрат

χ² = (32 − 40)²/40 + (48 − 40)²/40 + (58 − 50)²/50 + (42 − 50)²/50
χ² = 5,76

Відповідь

χ² = 5,76

df = 1. При α = 0,05 критичне значення 3,841, тож H₀ (незалежність) відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ²crit = 11,35

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Ступені вільності

df = 5 − 1 − 1 = 3

Таблиця

χ²crit(df = 3, α = 0,01) = 11,345

Відповідь

χ²crit = 11,345

Відхиліть H₀, якщо обчислене χ² більше за це значення.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology