Статика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вектори: скалярний і векторний добутки

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Одиничний вектор: û = a/|a|
Компоненти за кутом: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярний добуток: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b: a·b/|b|
Робота: W = F·d
Векторний добуток: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площі: паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O: M_O = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Рами та механізми

Рівновага кожного стрижня: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень: сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі: однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі: F = √(F_x² + F_y²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль: F_in·a = F_out·b
Колінно-важільний механізм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження

Метод

Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Задачі для практики

1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня

Стала сила F = (15, 30, 20) N діє на тіло, яке рухається по прямій від точки A(−3, 5, 1) до точки B(4, −4, −4). Координати подано в метрах. Знайдіть роботу W, виконану силою.

F = (15, 30, 20) NA(−3, 5, 1) mB(4, −4, −4) m

W = J

2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна

Знайдіть площу A трикутника з вершинами A(2, 2, 1), B(−4, 4, 4) і C(0, −2, 2). Координати подано в метрах.

A(2, 2, 1)B(−4, 4, 4)C(0, −2, 2)

A = m²

3.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка (нерухомий шарнір в A, рухома опора в B) навантажена лінійно змінним навантаженням, що зростає від нуля в A до 8 kN/m у B. Також на відстані 1,5 m від A прикладена зосереджена сила P. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 4 mw₀ = 8 kN/mP = 35 kN у 1,5 m

R_B = kN

4.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_A.

L = 6 mP = 60 kN у 3 mw = 10 kN/m від 3 до 6 m

R_A = kN

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 8 mвисота = 3 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 15 kN

F_AB = kN

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 4 mвисота = 4 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 50 kNгоризонтальне навантаження = 20 kN →

F_AB = kN

7.Рами та механізмиСередня

Показана А-подібна рама стоїть на шарнірній опорі в A і котковій опорі в B на відстані 3,2 м одна від одної. Ноги сходяться в шарнірі C на висоті 2,4 м, а горизонтальна затяжка DE на 1 м над землею. У C діє навантаження 15 кН. Знайдіть модуль сили C, з якою шарнір C діє на ногу BC.

P = 15 kNAB = 3,2 mвисота C = 2,4 mвисота DE = 1 m

C = kN

8.Рами та механізмиСкладна

Однорідна горизонтальна стріла AB вагою 2 кН закріплена шарніром до стіни в A і утримується канатом від її кінця B до точки C на стіні на 2,5 м вище від A. У B висить вантаж 2 кН. Знайдіть натяг T каната.

W = 2 kNW_b = 2 kNAB = 2 mAC = 2,5 m

T = kN

9.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

30 kN @ 6 m6 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

15 kN @ 0 m40 kN @ 6 m45 kN @ 3 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Кругла труба має зовнішній діаметр D = 70 mm і внутрішній діаметр d = 62 mm. Знайдіть її радіус інерції r відносно горизонтальної центральної осі.

D = 70 mmd = 62 mm

r = mm

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Пластина 120 мм × 240 мм має прямокутний виріз завширшки 30 мм і заввишки 20 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 168 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 120 mmh = 240 mmвиріз: 30 × 20 mmцентр отвору: y = 168 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Розчини

1.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: W = −265 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Переміщення

d = B − A = (4, −4, −4) − (−3, 5, 1) = (7, −9, −5) m

Робота

W = F·d = 15·7 + 30·(−9) + 20·(−5) = −265 J

Відповідь

W = −265 J

Від’ємна робота: сила здебільшого діє проти руху.

2.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: A = 15,65 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Вектори сторін

AB = B − A = (−6, 2, 3)

AC = C − A = (−2, −4, 1)

Векторний добуток

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = 2·1 − 3·(−4) = 14

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = 3·(−2) − (−6)·1 = 0

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = (−6)·(−4) − 2·(−2) = 28

|AB × AC| = √(14² + 0² + 28²) = 31,3

Площа трикутника

A = ½·31,3 = 15,65 m²

Відповідь

A = 15,65 m²

3.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 23,79 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Рівнодійна трикутного навантаження

W = ½·8·4 = 16 kN

x̄ = 2L/3 = 2,667 m

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 16·2,667 + 35·1,5

R_B = 23,79 kN

R_A = 51 − 23,79 = 27,21 kN

Відповідь

R_B = 23,79 kN

4.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 37,5 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 10·3 = 30 kN, прикладена в x̄ = 4,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·3 + 10·3·4,5

R_B = 315/6 = 52,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 52,5 = 37,5 kN

Відповідь

R_A = 37,5 kN

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AB = −13,83 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 15·1 → C_y = 1,875 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 1,875 = 13,13 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 3/3,162 = 0,9487

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −13,13/0,9487 = −13,83 kN

Відповідь

F_AB = −13,83 kN (стиск)

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AB = −18,04 kN

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 50·1 + 20·4 → C_y = 32,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 32,5 = 17,5 kN

ΣF_x = 0: A_x = −20 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 4/4,123 = 0,9701

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −17,5/0,9701 = −18,04 kN

Відповідь

F_AB = −18,04 kN (стиск)

7.Рами та механізми

Відповідь: C = 11,39 kN

Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.

Сила в затяжці з ноги BC

B_y = 7,5 kN

T = 7,5·1,6/1,4 = 8,571 kN

Складові сили в шарнірі на BC

C_x = T = 8,571 kN, C_y = −B_y = −7,5 kN

Модуль

C = √(8,571² + 7,5²) = 11,39 kN

Відповідь

C = 11,39 kN

8.Рами та механізми

Відповідь: T = 3,842 kN

Кут каната

BC = √(2² + 2,5²) = 3,202 m, sin β = 0,7809

Моменти відносно A

T·0,7809·2 = 2·2 + 2·1

T = 3,842 kN

Відповідь

T = 3,842 kN

9.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: D (x = 6 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 47 kN, R₂ = 31 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 82, M_C = 140, M_D = 174 kN·m, M_E = 124, M_F = 62, M_G = 0

Відповідь

Позначка D: M_D = 174 kN·m

10.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: E (x = 4 m)

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 8,333 kN, R₂ = 91,67 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = −15, M_C = −21,67, M_D = −28,33, M_E = −80 kN·m, M_F = −40, M_G = 0

Відповідь

Позначка E: M_E = −80 kN·m

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: r = 23,38 mm

Момент інерції перерізу: для прямокутника відносно власної центральної осі I = bh³/12, а відносно основи bh³/3 (теорема про паралельні осі I = I_c + A·d²). Отвір враховують, віднімаючи його I, якщо обидві частини мають ту саму вісь. Пружний момент опору перерізу S = I/c, де c — відстань до найвіддаленішого волокна. Радіус інерції r = √(I/A) — це відстань, на якій уся площа дала б той самий I; його використовують у розрахунку колон на стійкість.

Площа нетто і момент інерції нетто

A = π(D² − d²)/4 = 829,4 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 453256 mm⁴

Радіус інерції

r = √(I/A) = √(453256/829,4) = 23,38 mm

Відповідь

r = 23,38 mm

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 136,8 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (28800·120 − 600·168)/(28800 − 600) = 119 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

120·240³/12 + 28800·1,021² = 138,3 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

30·20³/12 + 600·49,02² = 1,462 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 136,8 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 136,8 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics