Статика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вектори: скалярний і векторний добутки

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Одиничний вектор: û = a/|a|
Компоненти за кутом: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярний добуток: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b: a·b/|b|
Робота: W = F·d
Векторний добуток: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площі: паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O: M_O = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Рами та механізми

Рівновага кожного стрижня: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень: сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі: однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі: F = √(F_x² + F_y²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль: F_in·a = F_out·b
Колінно-важільний механізм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження

Метод

Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Задачі для практики

1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня

Знайдіть скалярний добуток a·b векторів a = (−4, 0, −1) і b = (7, −6, −5).

a = (−4, 0, −1)b = (7, −6, −5)

a·b =

2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна

Знайдіть площу A паралелограма, натягнутого на a = (−6, −6, 0) і b = (−5, −2, 0).

a = (−6, −6, 0)b = (−5, −2, 0)

A =

3.Опорні реакції балокСередня

Балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B на відстані 3,5 m від A та консоль за B до вільного кінця C. Знайдіть вертикальну реакцію R_A, вважаючи напрямок угору додатним.

AB = 3,5 mAC = 5 mP₁ = 45 kN у 1 mP₂ = 10 kN у 5 m

R_A = kN

4.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_A.

L = 6 mP = 30 kN у 3 mw = 8 kN/m від 0 до 3 m

R_A = kN

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 4 mвисота = 4 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 55 kN

F_AB = kN

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 5 mвисота = 4 mB на відстані 4 m від Aвертикальне навантаження = 55 kNгоризонтальне навантаження = 10 kN ←

F_AB = kN

7.Рами та механізмиСередня

Показана А-подібна рама стоїть на шарнірній опорі в A і котковій опорі в B на відстані 4,8 м одна від одної; її верхній шарнір C на висоті 4 м, а горизонтальна затяжка DE на 2 м над землею. Вертикальне навантаження 12 кН діє на ногу AC у K на 0,6 м (по горизонталі) від A. Знайдіть натяг T у затяжці.

P = 12 kNAB = 4,8 mвисота C = 4 mвисота DE = 2 mгоризонтальна відстань від A до K = 0,6 m

T = kN

8.Рами та механізмиСкладна

Показана рама має шарніри в A, B і C; A і C закріплені на землі на відстані 5 м одна від одної, а B розташований на висоті 2,5 м і на 1,5 м праворуч від A. Стрижень AB несе вертикальне навантаження 4 кН у K на 0,9 м (по горизонталі) від A, а в B на стрижень AB діє горизонтальне навантаження 10 кН праворуч. Знайдіть величину горизонтальної реакції A_x у A.

P = 4 kNQ = 10 kNL = 5 mH = 2,5 mгоризонтальна відстань від A до B = 1,5 mгоризонтальна відстань від A до K = 0,9 m

A_x = kN

9.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

45 kN @ 3 m20 kN @ 1 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт і зосередженою силою P. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 5 mP = 80 kN у 2 mw = 3 kN/m від 0 до 5 m

M_max = kN·m

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Швелерний переріз лежить відкритою стороною вгору: основа шириною 160 mm з двома вертикальними полицями, повна висота 180 mm. Основа й полиці мають товщину 20 mm. Знайдіть висоту ȳ центра ваги над нижнім краєм.

b = 160 mmh = 180 mmt = 20 mm

ȳ = mm

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 5 kN·m. Знайдіть величину напруження згину σ_верх на верхньому краї.

b_f = 100 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 260 mmM = 5 kN·m

σ_верх = MPa

3Розчини

1.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: a·b = −23

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Перемножте відповідні компоненти й додайте

a·b = (−4)·7 + 0·(−6) + (−1)·(−5) = (−28) + 0 + 5 = −23

Відповідь

a·b = −23

Від’ємний: кут між векторами більший за 90°.

2.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: A = 18

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторний добуток

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−6)·0 − 0·(−2) = 0

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 0·(−5) − (−6)·0 = 0

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−6)·(−2) − (−6)·(−5) = −18

Площа

A = |a × b| = √(0² + 0² + (−18)²) = 18

Відповідь

A = 18

3.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 27,86 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Моменти відносно A

Проти годинникової стрілки — додатний напрямок.

ΣM_A = 0: R_B·3,5 = 45·1 + 10·5

R_B = 95/3,5 = 27,14 kN

Рівновага по вертикалі

R_A = 45 + 10 − 27,14 = 27,86 kN

Відповідь

R_A = 27,86 kN

4.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 33 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 8·3 = 24 kN, прикладена в x̄ = 1,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 30·3 + 8·3·1,5

R_B = 126/6 = 21 kN

ΣF_y = 0: R_A = 54 − 21 = 33 kN

Відповідь

R_A = 33 kN

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AB = −42,52 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 55·1 → C_y = 13,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 13,75 = 41,25 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 4/4,123 = 0,9701

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −41,25/0,9701 = −42,52 kN

Відповідь

F_AB = −42,52 kN (стиск)

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AB = −26,87 kN

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 55·4 − 10·4 → C_y = 36 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 36 = 19 kN

ΣF_x = 0: A_x = 10 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 4/5,657 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −19/0,7071 = −26,87 kN

Відповідь

F_AB = −26,87 kN (стиск)

7.Рами та механізми

Відповідь: T = 1,8 kN

Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.

Уся рама: моменти відносно A

B_y = 12·0,6/4,8 = 1,5 kN

Нога BC: моменти відносно C

1,5·2,4 = T·2

T = 1,8 kN

Відповідь

T = 1,8 kN

8.Рами та механізми

Відповідь: A_x = 1,992 kN

Напрям BC

BC = 4,301 m, cos = 0,8137, sin = 0,5812

Уся рама: моменти відносно A

F_BC·0,5812·5 = 4·0,9 + 10·2,5

F_BC = 9,841 kN

Горизонтальний баланс

A_x + 10 − 9,841·0,8137 = 0

A_x = −1,992 kN → |A_x| = 1,992 kN

Відповідь

A_x = 1,992 kN

Знак мінус означає, що A_x напрямлена ліворуч.

9.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: D (x = 3 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 39,17 kN, R₂ = 25,83 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 39,17, M_C = 58,33, M_D = 77,5 kN·m, M_E = 51,67, M_F = 25,83, M_G = 0

Відповідь

Позначка D: M_D = 77,5 kN·m

10.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 105 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, прикладена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 80·2 + 3·5·2,5

R_B = 197,5/5 = 39,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 39,5 = 55,5 kN

Де V = 0?

V(2⁻) = R_A − w·2 = 49,5 kN

V(2⁺) = 49,5 − 80 = −30,5 kN

Поперечна сила змінює знак під силою, тож максимум під силою.

Максимальний момент

M_max = R_A·2 − w·2²/2 = 55,5·2 − 3·2²/2 = 105 kN·m

Відповідь

M_max = 105 kN·m

Це в точці x = 2 m від A.

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: ȳ = 70 mm

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Розділіть на прямокутники

Візьміть основу на всю ширину і дві полиці над нею (висотою h − t), щоб нічого не врахувати двічі.

основа: A₁ = 160·20 = 3200 mm², y₁ = 10 mm

дві полиці: A₂ = 2·20·160 = 6400 mm², y₂ = 20 + 160/2 = 100 mm

Центр ваги

ȳ = (3200·10 + 6400·100)/9600 = 70 mm

Відповідь

ȳ = 70 mm

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_верх = 12,25 MPa

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 100·15 = 1500 mm², y_f = 260 + 15/2 = 267,5 mm

стінка: A_w = 16·260 = 4160 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1500·267,5 + 4160·130)/5660 = 166,4 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 100·15³/12 + 1500·(267,5 − 166,4)² = 1,535 × 10⁷ mm⁴

стінка: 16·260³/12 + 4160·(130 − 166,4)² = 2,896 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,535 × 10⁷ + 2,896 × 10⁷ = 4,431 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Верхній край на відстані h − ȳ від осі.

y = 275 − 166,4 = 108,6 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·108,6/4,431 × 10⁷ = 12,25 MPa

Відповідь

σ_верх = 12,25 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics