Статика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вектори: скалярний і векторний добутки

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Одиничний вектор: û = a/|a|
Компоненти за кутом: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярний добуток: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b: a·b/|b|
Робота: W = F·d
Векторний добуток: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площі: паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O: M_O = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Рами та механізми

Рівновага кожного стрижня: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень: сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі: однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі: F = √(F_x² + F_y²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль: F_in·a = F_out·b
Колінно-важільний механізм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження

Метод

Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Задачі для практики

1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня

Стала сила F = (−10, −25, −25) N діє на тіло, яке рухається по прямій від точки A(−1, −2, 3) до точки B(−4, −3, 3). Координати подано в метрах. Знайдіть роботу W, виконану силою.

F = (−10, −25, −25) NA(−1, −2, 3) mB(−4, −3, 3) m

W = J

2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна

Одиничний вектор n̂ перпендикулярний до обох векторів a = (0, 1, −2) і b = (−2, 4, 0) та має додатну z-компоненту. Знайдіть його y-компоненту n̂_y.

a = (0, 1, −2)b = (−2, 4, 0)n̂_z > 0

n̂_y =

3.Опорні реакції балокСередня

Консольна балка защемлена в стіні в A. Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w від стіни до 5 m і зосередженою силою P на відстані 8 m від стіни. Знайдіть величину реактивного моменту M_A у стіні.

L = 8 mP = 70 kN у 8 mw = 2 kN/m від 0 до 5 m

M_A = kN·m

4.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 6 mP = 20 kN у 2,5 mw = 8 kN/m від 0 до 5 m

R_B = kN

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 25 kN ↓D: 15 kN ↓H: 40 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент FC
13елемент HC

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

F: 25 kN ↓F: 10 kN →G: 40 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент BG
13елемент DG

7.Рами та механізмиСередня

Показана рама має шарніри в A, B і C; A і C закріплені на землі на відстані 4 м одна від одної, а B розташований на 2 м над землею і на 1,2 м праворуч від A. Вертикальне навантаження 8 кН діє на стрижень AB у K на 0,6 м (по горизонталі) від A. Знайдіть силу F_BC у стрижні BC.

P = 8 kNL = 4 mH = 2 mгоризонтальна відстань від A до B = 1,2 mгоризонтальна відстань від A до K = 0,6 m

F_BC = kN

8.Рами та механізмиСкладна

Однорідна горизонтальна стріла AB вагою 1 кН закріплена шарніром до стіни в A і утримується канатом від B до точки C на стіні на 2 м вище від A. У B висить вантаж 2 кН. Знайдіть модуль реакції шарніра A.

W = 2 kNW_b = 1 kNAB = 5 mAC = 2 m

A = kN

9.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

15 kN @ 2 m45 kN @ 10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 2 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 8 mP = 40 kN у 2 mw = 3 kN/m від 0 до 8 mx = 2 m

M_x = kN·m

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 260 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Зварний двотавровий переріз має верхню полицю 100 × 24 mm, стінку висотою 370 mm і товщиною 14 mm та нижню полицю 160 × 16 mm (ширина × товщина). Знайдіть його момент інерції I_x відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

верхня полиця: 100 × 24 mmстінка: 14 × 370 mmнижня полиця: 160 × 16 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Розчини

1.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: W = 55 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Переміщення

d = B − A = (−4, −3, 3) − (−1, −2, 3) = (−3, −1, 0) m

Робота

W = F·d = (−10)·(−3) + (−25)·(−1) + (−25)·0 = 55 J

Відповідь

W = 55 J

2.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: n̂_y = 0,4364

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторний добуток

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 1·0 − (−2)·4 = 8

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−2)·(−2) − 0·0 = 4

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 0·4 − 1·(−2) = 2

Нормування

z-компонента a × b уже додатна.

|a × b| = √(8² + 4² + 2²) = 9,165

n̂ = (8, 4, 2)/9,165 = (0,8729, 0,4364, 0,2182)

n̂_y = 0,4364

Відповідь

n̂_y = 0,4364

3.Опорні реакції балок

Відповідь: M_A = 585 kN·m

Рівновага консолі: защемлення може не лише підпирати, а й протидіяти повороту, тож воно дає вертикальну реакцію R_A і реактивний момент M_A. ΣF_y = 0 дає R_A, а моменти відносно стіни дають M_A = Σ(навантаження × відстань від стіни). Розподілене навантаження діє як рівнодійна, прикладена в центрі ваги епюри навантаження.

Рівнодійна розподіленого навантаження

W = 2·5 = 10 kN, x̄ = 2,5 m

Момент відносно стіни

M_A = P·a + W·x̄ = 70·8 + 10·2,5 = 585 kN·m

Відповідь

M_A = 585 kN·m

4.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 25 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, прикладена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 20·2,5 + 8·5·2,5

R_B = 150/6 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 25 = 35 kN

Відповідь

R_B = 25 kN

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол G

FG і GH лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 32,5 kN (T), BC: 32,5 kN (T), CD: 47,5 kN (T), DE: 47,5 kN (T), FG: 40 kN (C), GH: 40 kN (C), AF: 45,96 kN (C), HE: 67,18 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 0, DH: 15 kN (T), FC: 10,61 kN (T), HC: 10,61 kN (C)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Вузол C

BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 36,56 kN (T), BC: 44,37 kN (T), CD: 44,37 kN (T), DE: 22,19 kN (T), FG: 36,56 kN (C), GH: 22,19 kN (C), AF: 44,27 kN (C), HE: 36,98 kN (C), BF: 10,42 kN (T), CG: 0, DH: 29,58 kN (T), BG: 13,02 kN (C), DG: 36,98 kN (C)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

7.Рами та механізми

Відповідь: F_BC = 2,065 kN

Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.

Двосиловий стрижень BC

BC = √(2,8² + 2²) = 3,441 m

Уся рама: моменти відносно A

Земля штовхає BC у C вздовж CB; її горизонтальна складова проходить через A, момент має лише вертикальна.

F_BC·(2/3,441)·4 = 8·0,6

F_BC = 2,065 kN (стиск)

Відповідь

F_BC = 2,065 kN

8.Рами та механізми

Відповідь: A = 6,27 kN

Натяг каната

T = (2 + 1/2)/0,3714 = 6,731 kN

Складові в A

A_x = T·cos β = 6,25 kN

A_y = 2 + 1 − T·sin β = 0,5 kN

Модуль

A = √(6,25² + 0,5²) = 6,27 kN

Відповідь

A = 6,27 kN

9.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: F (x = 10 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 20 kN, R₂ = 40 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 40, M_C = 50, M_D = 60, M_E = 70, M_F = 80 kN·m, M_G = 0

Відповідь

Позначка F: M_F = 80 kN·m

10.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 78 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, прикладена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 40·2 + 3·8·4

R_B = 176/8 = 22 kN

ΣF_y = 0: R_A = 64 − 22 = 42 kN

Розріжте в x = 2 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 42·2 − 3·2·1 = 78 kN·m

Відповідь

M_x = 78 kN·m

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 30,73 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 260·10 = 2600 mm², y_f = 200 + 10/2 = 205 mm

стінка: A_w = 20·200 = 4000 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2600·205 + 4000·100)/6600 = 141,4 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 260·10³/12 + 2600·(205 − 141,4)² = 1,055 × 10⁷ mm⁴

стінка: 20·200³/12 + 4000·(100 − 141,4)² = 2,018 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,055 × 10⁷ + 2,018 × 10⁷ = 3,073 × 10⁷ mm⁴ = 30,73 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 30,73 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 247,7 × 10⁶ mm⁴

Розділіть на три прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

верхня полиця: A = 2400 mm², y = 398 mm

стінка: A = 5180 mm², y = 201 mm

нижня полиця: A = 2560 mm², y = 8 mm

Центр ваги

ȳ = (2400·398 + 5180·201 + 2560·8)/10140 = 198,9 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

верхня полиця: 100·24³/12 + 2400·199,1² = 9,525 × 10⁷ mm⁴

стінка: 14·370³/12 + 5180·2,099² = 5,912 × 10⁷ mm⁴

нижня полиця: 160·16³/12 + 2560·190,9² = 9,335 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,525 × 10⁷ + 5,912 × 10⁷ + 9,335 × 10⁷

I_x = 2,477 × 10⁸ mm⁴ = 247,7 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 247,7 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics