Статика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вектори: скалярний і векторний добутки

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Одиничний вектор: û = a/|a|
Компоненти за кутом: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярний добуток: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b: a·b/|b|
Робота: W = F·d
Векторний добуток: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площі: паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O: M_O = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Рами та механізми

Рівновага кожного стрижня: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень: сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі: однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі: F = √(F_x² + F_y²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль: F_in·a = F_out·b
Колінно-важільний механізм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження

Метод

Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Задачі для практики

1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня

Стала сила F = (30, 30, −30) N діє на тіло, яке рухається по прямій від точки A(3, 5, −4) до точки B(3, −5, 1). Координати подано в метрах. Знайдіть роботу W, виконану силою.

F = (30, 30, −30) NA(3, 5, −4) mB(3, −5, 1) m

W = J

2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна

Одиничний вектор n̂ перпендикулярний до обох векторів a = (−1, −3, −5) і b = (−3, −1, 1) та має додатну z-компоненту. Знайдіть його x-компоненту n̂_x.

a = (−1, −3, −5)b = (−3, −1, 1)n̂_z > 0

n̂_x =

3.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка (нерухомий шарнір в A, рухома опора в B) навантажена лінійно змінним навантаженням, що спадає від 20 kN/m в A до нуля в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_A.

L = 4 mw₀ = 20 kN/m

R_A = kN

4.Опорні реакції балокСкладна

Балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B на відстані 6 m від A та консоль за B до вільного кінця C. Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 1 m від A і рівномірно розподіленим навантаженням w від 5 m до вільного кінця в 10 m. Знайдіть вертикальну реакцію R_B, вважаючи напрямок угору додатним.

AB = 6 mAC = 10 mP = 60 kN у 1 mw = 6 kN/m від 5 до 10 m

R_B = kN

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 10 kN ↓G: 30 kN ↓H: 10 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент FC
13елемент HC

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 4 mвисота = 3 mB на відстані 3 m від Aвертикальне навантаження = 30 kNгоризонтальне навантаження = 15 kN ←

F_AB = kN

7.Рами та механізмиСередня

Показана рама має шарніри в A, B і C; A і C закріплені на землі на відстані 4 м одна від одної, а B розташований на 2 м над землею і на 1,2 м праворуч від A. Вертикальне навантаження 6 кН діє на стрижень AB у K на 0,3 м (по горизонталі) від A. Знайдіть силу F_BC у стрижні BC.

P = 6 kNL = 4 mH = 2 mгоризонтальна відстань від A до B = 1,2 mгоризонтальна відстань від A до K = 0,3 m

F_BC = kN

8.Рами та механізмиСкладна

Показана А-подібна рама стоїть на шарнірній опорі в A і котковій опорі в B на відстані 4,8 м одна від одної; її верхній шарнір C на висоті 4 м, а горизонтальна затяжка DE на 1,8 м над землею. Вертикальне навантаження 4 кН діє на ногу AC у K на 0,6 м (по горизонталі) від A. Знайдіть модуль сили C, з якою шарнір C діє на ногу BC.

P = 4 kNAB = 4,8 mвисота C = 4 mвисота DE = 1,8 mгоризонтальна відстань від A до K = 0,6 m

C = kN

9.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Шарнірно оперта балка навантажена двома зосередженими силами. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 8 mP₁ = 30 kN у 2 mP₂ = 55 kN у 4 m

M_max = kN·m

10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 2,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 6 mP = 25 kN у 1,5 mw = 3 kN/m від 0 до 6 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Пластина 150 мм × 150 мм має круглий отвір діаметром 60 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 60 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 150 mmh = 150 mmd = 60 mmцентр отвору: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Зварний двотавровий переріз має верхню полицю 100 × 14 mm, стінку висотою 230 mm і товщиною 14 mm та нижню полицю 290 × 20 mm (ширина × товщина). Знайдіть його момент інерції I_x відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

верхня полиця: 100 × 14 mmстінка: 14 × 230 mmнижня полиця: 290 × 20 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Розчини

1.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: W = −450 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Переміщення

d = B − A = (3, −5, 1) − (3, 5, −4) = (0, −10, 5) m

Робота

W = F·d = 30·0 + 30·(−10) + (−30)·5 = −450 J

Відповідь

W = −450 J

Від’ємна робота: сила здебільшого діє проти руху.

2.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: n̂_x = 0,4082

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторний добуток

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−3)·1 − (−5)·(−1) = −8

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−5)·(−3) − (−1)·1 = 16

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−1)·(−1) − (−3)·(−3) = −8

Нормування

z-компонента a × b від’ємна, тож використайте −(a × b).

|a × b| = √((−8)² + 16² + (−8)²) = 19,6

n̂ = −(−8, 16, −8)/19,6 = (0,4082, −0,8165, 0,4082)

n̂_x = 0,4082

Відповідь

n̂_x = 0,4082

3.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 26,67 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Рівнодійна трикутного навантаження

W = ½·20·4 = 40 kN

x̄ = L/3 = 1,333 m

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 40·1,333

R_B = 13,33 kN

R_A = 40 − 13,33 = 26,67 kN

Відповідь

R_A = 26,67 kN

4.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 47,5 kN

Рівнодійна розподіленого навантаження

W = 6·5 = 30 kN, x̄ = (5 + 10)/2 = 7,5 m

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·1 + 30·7,5

R_B = 285/6 = 47,5 kN

R_A = 90 − 47,5 = 42,5 kN

Відповідь

R_B = 47,5 kN

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент DH

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол D

CD і DE лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 25 kN (T), BC: 25 kN (T), CD: 25 kN (T), DE: 25 kN (T), FG: 40 kN (C), GH: 40 kN (C), AF: 35,36 kN (C), HE: 35,36 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 30 kN (C), DH: 0, FC: 21,21 kN (T), HC: 21,21 kN (T)

Відповідь

Нульовий елемент: DH

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AB = −26,52 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 30·3 − 15·3 → C_y = 11,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 11,25 = 18,75 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −18,75/0,7071 = −26,52 kN

Відповідь

F_AB = −26,52 kN (стиск)

7.Рами та механізми

Відповідь: F_BC = 0,7742 kN

Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.

Двосиловий стрижень BC

BC = √(2,8² + 2²) = 3,441 m

Уся рама: моменти відносно A

Земля штовхає BC у C вздовж CB; її горизонтальна складова проходить через A, момент має лише вертикальна.

F_BC·(2/3,441)·4 = 6·0,3

F_BC = 0,7742 kN (стиск)

Відповідь

F_BC = 0,7742 kN

8.Рами та механізми

Відповідь: C = 0,7399 kN

Реакція опори в B

B_y = 4·0,6/4,8 = 0,5 kN

Сила в затяжці

T = 0,5·2,4/2,2 = 0,5455 kN

Сила в шарнірі на BC

C_x = 0,5455 kN, C_y = −0,5 kN

C = √(0,5455² + 0,5²) = 0,7399 kN

Відповідь

C = 0,7399 kN

9.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 140 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 30·2 + 55·4

R_B = 280/8 = 35 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 35 = 50 kN

Момент під кожною силою

Залиште частину ліворуч від кожної сили.

під P₁: M = R_A·2 = 50·2 = 100 kN·m

під P₂: M = R_B·4 = 35·4 = 140 kN·m

Найбільше значення

M_max = 140 kN·m (під P₂)

Відповідь

M_max = 140 kN·m

10.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 35 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, прикладена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 25·1,5 + 3·6·3

R_B = 91,5/6 = 15,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 43 − 15,25 = 27,75 kN

Розріжте в x = 2,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 27,75·2,5 − 25·(2,5 − 1,5) − 3·2,5·1,25 = 35 kN·m

Відповідь

M_x = 35 kN·m

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 40,82 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (22500·75 − 2827·60)/(22500 − 2827) = 77,16 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

150·150³/12 + 22500·−2,156² = 42,29 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−17,16² = 1,468 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 40,82 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 40,82 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 96,4 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Розділіть на три прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

верхня полиця: A = 1400 mm², y = 257 mm

стінка: A = 3220 mm², y = 135 mm

нижня полиця: A = 5800 mm², y = 10 mm

Центр ваги

ȳ = (1400·257 + 3220·135 + 5800·10)/10420 = 81,81 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

верхня полиця: 100·14³/12 + 1400·175,2² = 4,299 × 10⁷ mm⁴

стінка: 14·230³/12 + 3220·53,19² = 2,33 × 10⁷ mm⁴

нижня полиця: 290·20³/12 + 5800·71,81² = 3,011 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,299 × 10⁷ + 2,33 × 10⁷ + 3,011 × 10⁷

I_x = 9,64 × 10⁷ mm⁴ = 96,4 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 96,4 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics