Статика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вектори: скалярний і векторний добутки

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Одиничний вектор: û = a/|a|
Компоненти за кутом: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярний добуток: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b: a·b/|b|
Робота: W = F·d
Векторний добуток: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площі: паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O: M_O = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Рами та механізми

Рівновага кожного стрижня: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень: сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі: однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі: F = √(F_x² + F_y²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль: F_in·a = F_out·b
Колінно-важільний механізм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження

Метод

Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Задачі для практики

1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня

Знайдіть значення k, за якого вектори a = (−4, −2, −5) і b = (k, 4, 0) перпендикулярні.

a = (−4, −2, −5)b = (k, 4, 0)

k =

2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна

Знайдіть площу A трикутника з вершинами A(2, 2, −2), B(−4, −3, −2) і C(−1, −2, 4). Координати подано в метрах.

A(2, 2, −2)B(−4, −3, −2)C(−1, −2, 4)

A = m²

3.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 6 mP₁ = 40 kN у 3 mP₂ = 20 kN у 5 m

R_B = kN

4.Опорні реакції балокСкладна

Балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B на відстані 3 m від A та консоль за B до вільного кінця C. Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 0,5 m від A і рівномірно розподіленим навантаженням w від 3 m до вільного кінця в 4 m. Знайдіть вертикальну реакцію R_A, вважаючи напрямок угору додатним.

AB = 3 mAC = 4 mP = 45 kN у 0,5 mw = 6 kN/m від 3 до 4 m

R_A = kN

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_BC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 6 mвисота = 2 mB на відстані 2 m від Aвертикальне навантаження = 45 kN

F_BC = kN

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 8 mвисота = 3 mB на відстані 2 m від Aвертикальне навантаження = 25 kNгоризонтальне навантаження = 10 kN ←

F_AB = kN

7.Рами та механізмиСередня

Показана А-подібна рама стоїть на шарнірній опорі в A і котковій опорі в B на відстані 5 м одна від одної. Ноги сходяться в шарнірі C на висоті 2,4 м, а горизонтальна затяжка DE на 1,2 м над землею. У C діє навантаження 4 кН. Знайдіть модуль сили C, з якою шарнір C діє на ногу BC.

P = 4 kNAB = 5 mвисота C = 2,4 mвисота DE = 1,2 m

C = kN

8.Рами та механізмиСкладна

Балка AB показаного настінного кронштейна закріплена шарніром у A і підперта розкосом CD (C на 1,2 м нижче від A). Балка несе рівномірне навантаження 1,5 кН/м по всій довжині та зосереджене навантаження 6 кН на вільному кінці B. Знайдіть силу F_CD в розкосі.

w = 1,5 kN/mP = 6 kNAD = 0,8 mAB = 1,5 mAC = 1,2 m

F_CD = kN

9.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженим моментом M₀ = 15 kN·m, що діє за годинниковою стрілкою, на відстані x = 6 m від A, і більше нічим. Знайдіть згинальний момент M_x безпосередньо ліворуч від зосередженого моменту. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 10 mM₀ = 15 kN·m за годинниковою стрілкою, на відстані 6 m

M_x = kN·m

10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 1 m за B до вільного кінця C. Рівномірно розподілене навантаження w діє по всій довжині A–C. Знайдіть згинальний момент M_B на опорі B. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 6 mw = 2 kN/m від 0 до 6 mопори в x = 0 і x = 5 m

M_B = kN·m

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Пластина 100 мм × 150 мм має круглий отвір діаметром 30 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 105 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 100 mmh = 150 mmd = 30 mmцентр отвору: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Пластина 100 мм × 300 мм має прямокутний виріз завширшки 60 мм і заввишки 30 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 210 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 100 mmh = 300 mmвиріз: 60 × 30 mmцентр отвору: y = 210 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Розчини

1.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: k = −2

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярний добуток дорівнює нулю

a·b = (−4)·k + (−2)·4 + (−5)·0 = 0

−8 + (−4)·k = 0

Розв’яжіть щодо k

k = −(−8)/(−4) = −2

Відповідь

k = −2

2.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: A = 23,86 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Вектори сторін

AB = B − A = (−6, −5, 0)

AC = C − A = (−3, −4, 6)

Векторний добуток

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = (−5)·6 − 0·(−4) = −30

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = 0·(−3) − (−6)·6 = 36

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = (−6)·(−4) − (−5)·(−3) = 9

|AB × AC| = √((−30)² + 36² + 9²) = 47,72

Площа трикутника

A = ½·47,72 = 23,86 m²

Відповідь

A = 23,86 m²

3.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 36,67 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 40·3 + 20·5

R_B = 220/6 = 36,67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 36,67 = 23,33 kN

Відповідь

R_B = 36,67 kN

4.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 36,5 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Рівнодійна розподіленого навантаження

W = 6·1 = 6 kN, x̄ = (3 + 4)/2 = 3,5 m

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·3 = 45·0,5 + 6·3,5

R_B = 43,5/3 = 14,5 kN

R_A = 51 − 14,5 = 36,5 kN

Відповідь

R_A = 36,5 kN

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_BC = −33,54 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 45·2 → C_y = 15 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 15 = 30 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 2/4,472 = 0,4472, cos γ = 4/4,472 = 0,8944

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −15/0,4472 = −33,54 kN

Відповідь

F_BC = −33,54 kN (стиск)

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AB = −27,04 kN

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 25·2 − 10·3 → C_y = 2,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 2,5 = 22,5 kN

ΣF_x = 0: A_x = 10 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 3/3,606 = 0,8321

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −22,5/0,8321 = −27,04 kN

Відповідь

F_AB = −27,04 kN (стиск)

7.Рами та механізми

Відповідь: C = 4,622 kN

Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.

Сила в затяжці з ноги BC

B_y = 2 kN

T = 2·2,5/1,2 = 4,167 kN

Складові сили в шарнірі на BC

C_x = T = 4,167 kN, C_y = −B_y = −2 kN

Модуль

C = √(4,167² + 2²) = 4,622 kN

Відповідь

C = 4,622 kN

8.Рами та механізми

Відповідь: F_CD = 16,06 kN

Рівнодійна рівномірного навантаження

w·L = 1,5·1,5 = 2,25 kN у 0,75 m

Моменти відносно A для балки

F_CD·0,8321·0,8 = 2,25·0,75 + 6·1,5 = 10,69 kN·m

F_CD = 16,06 kN

Відповідь

F_CD = 16,06 kN

9.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = −9 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Прикладений зосереджений момент змінює епюру згинальних моментів стрибком на величину цього моменту.

Опорні реакції

Моменти відносно A, проти годинникової стрілки додатні: R_B·L − M₀ = 0. Рівновага по вертикалі: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 15/10 = 1,5 kN (вгору)

R_A = −R_B = −1,5 kN (вниз)

Переріз безпосередньо ліворуч від зосередженого моменту

Ліва частина містить лише R_A.

M_x = R_A·a = −1,5·6 = −9 kN·m

Відповідь

M_x = −9 kN·m

10.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_B = −1 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки з урахуванням навантаження на консолі.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN, прикладена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 2·6·3

R_B = 36/5 = 7,2 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 7,2 = 4,8 kN

Переріз у B, залишаємо консоль

Навантаження на консолі, w·a, прикладене на відстані a/2 від B і вигинає балку над опорою опуклістю догори.

M_B = −w·a²/2 = −2·1²/2 = −1 kN·m

Відповідь

M_B = −1 kN·m

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 27,42 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (15000·75 − 706,9·105)/(15000 − 706,9) = 73,52 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

100·150³/12 + 15000·1,484² = 28,16 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·31,48² = 0,7404 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 27,42 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 27,42 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 218 × 10⁶ mm⁴

Центр ваги

ȳ = (30000·150 − 1800·210)/(30000 − 1800) = 146,2 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

100·300³/12 + 30000·3,83² = 225,4 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

60·30³/12 + 1800·63,83² = 7,469 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 218 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 218 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics