Статика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вектори: скалярний і векторний добутки

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Одиничний вектор: û = a/|a|
Компоненти за кутом: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярний добуток: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b: a·b/|b|
Робота: W = F·d
Векторний добуток: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площі: паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O: M_O = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Рами та механізми

Рівновага кожного стрижня: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень: сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі: однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі: F = √(F_x² + F_y²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль: F_in·a = F_out·b
Колінно-важільний механізм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження

Метод

Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Задачі для практики

1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня

Знайдіть кут θ між векторами a = (6, −2, 2) і b = (0, 2, 4) у градусах.

a = (6, −2, 2)b = (0, 2, 4)

θ = °

2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна

Сила F = (10, −50, −10) N діє в точці A(−2, −3, 4). Координати подано в метрах. Знайдіть y-компоненту M_y моменту сили відносно початок координат O(0, 0, 0).

F = (10, −50, −10) NA(−2, −3, 4) mO(0, 0, 0) m

M_y = N·m

3.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка (нерухомий шарнір в A, рухома опора в B) навантажена лінійно змінним навантаженням, що зростає від нуля в A до 6 kN/m у B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 4 mw₀ = 6 kN/m

R_B = kN

4.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Сила P прикладена на відстані 5 m від A під кутом 45° до горизонталі, а вертикальна сила Q — на відстані 3 m від A. Знайдіть кут α між повною реакцією в шарнірі A і горизонталлю.

L = 8 mP = 25 kN у 5 m, θ = 45°Q = 80 kN у 3 m

α = °

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 35 kN ↓F: 25 kN ↓G: 25 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент BG
13елемент DG

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

B: 10 kN ↓F: 20 kN ↓G: 10 kN ↓H: 30 kN ←

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент BG
13елемент DG

7.Рами та механізмиСередня

У показаному колінно-важільному затискачі дві однакові ланки AB і BC з’єднані шарніром у B, і кожна становить 25° з прямою AC. У B прикладена сила 250 Н, напрямлена вниз. Повзун C тисне на заготовку. Нехтуючи тертям і вагою, знайдіть горизонтальну силу затиску Q.

F = 250 Nθ = 25°

Q = N

8.Рами та механізмиСкладна

Колінно-важільний прес має дві однакові ланки AB і BC довжиною 120 мм між шарнірами. Шарнір B розташований на 30 мм над прямою AC. Яка сила F, напрямлена вниз у B, створює горизонтальну силу тиску 5000 Н на повзуні C? Знехтуйте тертям і вагою.

Q = 5000 NAB = BC = 120 mmh = 30 mm

F = N

9.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

60 kN @ 6 m10 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

40 kN @ 0 m15 kN @ 12 m25 kN @ 4 m15 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 260 mmt_f = 30 mmt_w = 8 mmh_w = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Пластина 200 мм × 200 мм має прямокутний виріз завширшки 80 мм і заввишки 40 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 70 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 200 mmh = 200 mmвиріз: 80 × 40 mmцентр отвору: y = 70 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Розчини

1.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: θ = 82,25 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярний добуток

a·b = 6·0 + (−2)·2 + 2·4 = 4

Модулі

|a| = √(6² + (−2)² + 2²) = 6,633

|b| = √(0² + 2² + 4²) = 4,472

Кут

cos θ = 4/(6,633·4,472) = 0,1348

θ = arccos(0,1348) = 82,25°

Відповідь

θ = 82,25°

2.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: M_y = 20 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Радіус-вектор від O до A

r = A − O = (−2, −3, 4) − (0, 0, 0) = (−2, −3, 4) m

Момент M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−3)·(−10) − 4·(−50) = 230 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 4·10 − (−2)·(−10) = 20 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = (−2)·(−50) − (−3)·10 = 130 N·m

Потрібна компонента

M_y = 20 N·m

Відповідь

M_y = 20 N·m

3.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 8 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Рівнодійна трикутного навантаження

W = ½·6·4 = 12 kN

x̄ = 2L/3 = 2,667 m

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 12·2,667

R_B = 8 kN

R_A = 12 − 8 = 4 kN

Відповідь

R_B = 8 kN

4.Опорні реакції балок

Відповідь: α = 72,66 °

Складові P

P_v = 25·sin 45° = 17,68 kN

P_h = 25·cos 45° = 17,68 kN

Реакції

ΣM_A = 0: R_B·8 = 17,68·5 + 80·3 → R_B = 41,05 kN

A_y = 17,68 + 80 − 41,05 = 56,63 kN

A_x = P_h = 17,68 kN

Напрямок у A

α = atan(A_y/A_x) = atan(56,63/17,68) = 72,66°

Відповідь

α = 72,66°

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол C

BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 57,5 kN (T), BC: 55 kN (T), CD: 55 kN (T), DE: 27,5 kN (T), FG: 57,5 kN (C), GH: 27,5 kN (C), AF: 81,32 kN (C), HE: 38,89 kN (C), BF: 32,5 kN (T), CG: 0, DH: 27,5 kN (T), BG: 3,536 kN (T), DG: 38,89 kN (C)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Вузол C

BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 5 kN (T), BC: 10 kN (T), CD: 10 kN (T), DE: 5 kN (T), FG: 35 kN (C), GH: 35 kN (C), AF: 49,5 kN (C), HE: 7,071 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 0, DH: 5 kN (T), BG: 7,071 kN (C), DG: 7,071 kN (C)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

7.Рами та механізми

Відповідь: Q = 268,1 N

Механізми: кліщі, важелі, шарнірні системи та затискачі перетворюють вхідну силу на більшу або інакше напрямлену вихідну. Накресліть одну частину як вільне тіло й візьміть моменти відносно її осі: сила в шарнірі випадає, а F_in·a = F_out·b дає виграш у силі a/b. Сила в шарнірі випливає з ΣF = 0 для тієї самої частини. У колінно-важільному механізмі дві ланки сходяться під малим кутом θ; кожна ланка — двосиловий стрижень, тож мала сила F у шарнірі створює великі сили в ланках F/(2 sin θ) і силу затиску F/(2 tan θ).

Рівновага шарніра B

2·F_link·sin 25° = 250

F_link = 295,8 N

Сила затиску

Q = F_link·cos 25° = 250/(2·tan 25°) = 268,1 N

Відповідь

Q = 268,1 N

Відношення сил Q/F = 1,072 необмежено зростає, коли ланки випрямляються.

8.Рами та механізми

Відповідь: F = 2582 N

Кут ланки

sin θ = 30/120 = 0,25, θ = 14,48°

Сила в ланці

F_link = Q/cos θ = 5164 N

Сила в B

F = 2·F_link·sin θ = 2·5000·tan θ = 2582 N

Відповідь

F = 2582 N

9.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: D (x = 6 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 90 kN, R₂ = 90 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 160, M_C = 280, M_D = 360 kN·m, M_E = 280, M_F = 160, M_G = 0

Відповідь

Позначка D: M_D = 360 kN·m

10.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: B (x = 2 m)

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 105 kN, R₂ = 65 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = −80 kN·m, M_C = 20, M_D = 10, M_E = −60, M_F = −30, M_G = 0

Відповідь

Позначка B: M_B = −80 kN·m

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 9,49 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 260·30 = 7800 mm², y_f = 140 + 30/2 = 155 mm

стінка: A_w = 8·140 = 1120 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7800·155 + 1120·70)/8920 = 144,3 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 260·30³/12 + 7800·(155 − 144,3)² = 1,473 × 10⁶ mm⁴

стінка: 8·140³/12 + 1120·(70 − 144,3)² = 8,017 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,473 × 10⁶ + 8,017 × 10⁶ = 9,49 × 10⁶ mm⁴ = 9,49 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 9,49 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 129,8 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (40000·100 − 3200·70)/(40000 − 3200) = 102,6 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

200·200³/12 + 40000·−2,609² = 133,6 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

80·40³/12 + 3200·−32,61² = 3,829 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 129,8 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 129,8 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics