У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вектори: скалярний і векторний добутки
Модуль
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Одиничний вектор
û = a/|a|
Компоненти за кутом
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Скалярний добуток
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b
a·b/|b|
Робота
W = F·d
Векторний добуток
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Площі
паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O
MO = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда
V = |a·(b × c)|
Метод
Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.
Опорні реакції балок
Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d
Метод
Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.
Ферма: метод вирізання вузлів
Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск
Метод
Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.
Рами та механізми
Рівновага кожного стрижня
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень
сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі
однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі
F = √(Fx² + Fy²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль
Fin·a = Fout·b
Колінно-важільний механізм
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Метод
Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.
Поперечна сила і згинальний момент
Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8
Метод
Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.
Центр ваги й момент інерції
Центр ваги
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямокутник
I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей
I = Ic + A·d²
Складений переріз
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Задачі для практики
1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня
Знайдіть скалярну проєкцію compb a вектора a = (1, 1, 0) на b = (3, 5, 5), тобто компоненту a у напрямі b.
a = (1, 1, 0)b = (3, 5, 5)
compb a =
2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна
Сила F = (−30, 40, 10) N діє в точці A(−2, 1, −4). Координати подано в метрах. Знайдіть x-компоненту Mx моменту сили відносно точка O(−1, −2, 0).
F = (−30, 40, 10) NA(−2, 1, −4) mO(−1, −2, 0) m
Mx = N·m
3.Опорні реакції балокСередня
Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RA.
L = 6 mP1 = 55 kN у 1,5 mP2 = 30 kN у 5 m
RA = kN
4.Опорні реакції балокСкладна
Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RA.
L = 6 mP = 25 kN у 1,5 mw = 5 kN/m від 4 до 5 m
RA = kN
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.
B: 35 kN ↓D: 10 kN ↓F: 15 kN ↓H: 35 kN ↓
1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент FC
13елемент HC
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FBC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.
проліт = 6 mвисота = 3 mB на відстані 4 m від Aвертикальне навантаження = 30 kNгоризонтальне навантаження = 20 kN →
FBC = kN
7.Рами та механізмиСередня
Показана рама має шарніри в A, B і C; A і C закріплені на землі на відстані 8 м одна від одної, а B розташований на 4 м над землею і на 2,4 м праворуч від A. Вертикальне навантаження 12 кН діє на стрижень AB у K на 1,8 м (по горизонталі) від A. Знайдіть силу FBC у стрижні BC.
P = 12 kNL = 8 mH = 4 mгоризонтальна відстань від A до B = 2,4 mгоризонтальна відстань від A до K = 1,8 m
FBC = kN
8.Рами та механізмиСкладна
Колінно-важільний прес має дві однакові ланки AB і BC довжиною 80 мм між шарнірами. Шарнір B розташований на 10 мм над прямою AC. Яка сила F, напрямлена вниз у B, створює горизонтальну силу тиску 2000 Н на повзуні C? Знехтуйте тертям і вагою.
Q = 2000 NAB = BC = 80 mmh = 10 mm
F = N
9.Поперечна сила і згинальний моментСередня
Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.
40 kN @ 2 m60 kN @ 8 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 2 m за B до вільного кінця C. Рівномірно розподілене навантаження w діє по всій довжині A–C. Знайдіть максимальний додатний згинальний момент Mmax між опорами.
L = 10 mw = 2 kN/m від 0 до 10 mопори в x = 0 і x = 8 m
Mmax = kN·m
11.Центр ваги й момент інерціїСередня
Порожнистий прямокутний (коробчастий) переріз має зовнішню ширину B = 140 mm, зовнішню висоту H = 175 mm і сталу товщину стінки t = 8 mm. Знайдіть її радіус інерції r відносно горизонтальної центральної осі.
B = 140 mmH = 175 mmt = 8 mm
r = mm
12.Центр ваги й момент інерціїСкладна
Пластина 100 мм × 300 мм має прямокутний виріз завширшки 50 мм і заввишки 30 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 105 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі Ix відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.
b = 100 mmh = 300 mmвиріз: 50 × 30 mmцентр отвору: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Розчини
1.Вектори: скалярний і векторний добутки
Відповідь: compb a = 1,042
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Скалярний добуток
a·b = 1·3 + 1·5 + 0·5 = 8
Довжина b
|b| = √(3² + 5² + 5²) = 7,681
Скалярна проєкція
compb a = a·b/|b| = 8/7,681 = 1,042
Відповідь
compb a = 1,042
2.Вектори: скалярний і векторний добутки
Відповідь: Mx = 190 N·m
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Радіус-вектор від O до A
r = A − O = (−2, 1, −4) − (−1, −2, 0) = (−1, 3, −4) m
Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.
Розрахункова схема
Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.
Рівновага
Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.
ΣMA = 0: RB·6 = 55·1,5 + 30·5
RB = 232,5/6 = 38,75 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 38,75 = 46,25 kN
Відповідь
RA = 46,25 kN
4.Опорні реакції балок
Відповідь: RA = 20 kN
Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.
Розрахункова схема
Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.
Рівновага
Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.
Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 5·1 = 5 kN, прикладена в x̄ = 4,5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 25·1,5 + 5·1·4,5
RB = 60/6 = 10 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 10 = 20 kN
Відповідь
RA = 20 kN
5.Ферма: метод вирізання вузлів
Відповідь: елемент CG
Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.
Вузол G
FG і GH лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Перевірка методом вузлів
Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).
Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.
Опорні реакції
Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.
ΣMA = 0: Cy·6 = 30·4 + 20·3 → Cy = 30 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 30 = 0 kN
ΣFx = 0: Ax = −20 kN
Вузол C
Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.
sin γ = 3/3,606 = 0,8321, cos γ = 2/3,606 = 0,5547
Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.
Двосиловий стрижень BC
BC = √(5,6² + 4²) = 6,882 m
Уся рама: моменти відносно A
Земля штовхає BC у C вздовж CB; її горизонтальна складова проходить через A, момент має лише вертикальна.
FBC·(4/6,882)·8 = 12·1,8
FBC = 4,645 kN (стиск)
Відповідь
FBC = 4,645 kN
8.Рами та механізми
Відповідь: F = 504 N
Механізми: кліщі, важелі, шарнірні системи та затискачі перетворюють вхідну силу на більшу або інакше напрямлену вихідну. Накресліть одну частину як вільне тіло й візьміть моменти відносно її осі: сила в шарнірі випадає, а Fin·a = Fout·b дає виграш у силі a/b. Сила в шарнірі випливає з ΣF = 0 для тієї самої частини. У колінно-важільному механізмі дві ланки сходяться під малим кутом θ; кожна ланка — двосиловий стрижень, тож мала сила F у шарнірі створює великі сили в ланках F/(2 sin θ) і силу затиску F/(2 tan θ).
Кут ланки
sin θ = 10/80 = 0,125, θ = 7,181°
Сила в ланці
Flink = Q/cos θ = 2016 N
Сила в B
F = 2·Flink·sin θ = 2·2000·tan θ = 504 N
Відповідь
F = 504 N
9.Поперечна сила і згинальний момент
Відповідь: E (x = 8 m)
Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.
Опорні реакції
Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.
R1 = 53,33 kN, R2 = 46,67 kN
Згинальний момент у кожній позначці
Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.
MA = 0, MB = 106,7, MC = 133,3, MD = 160, ME = 186,7 kN·m, MF = 93,33, MG = 0
Відповідь
Позначка E: ME = 186,7 kN·m
10.Поперечна сила і згинальний момент
Відповідь: Mmax = 14,06 kN·m
Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.
Опорні реакції
Рівновага всієї балки з урахуванням навантаження на консолі.
Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, прикладена в x̄ = 5 m
Момент інерції перерізу: для прямокутника відносно власної центральної осі I = bh³/12, а відносно основи bh³/3 (теорема про паралельні осі I = Ic + A·d²). Отвір враховують, віднімаючи його I, якщо обидві частини мають ту саму вісь. Пружний момент опору перерізу S = I/c, де c — відстань до найвіддаленішого волокна. Радіус інерції r = √(I/A) — це відстань, на якій уся площа дала б той самий I; його використовують у розрахунку колон на стійкість.
Площа нетто і момент інерції нетто
b = 124 mm, h = 159 mm
A = BH − bh = 140·175 − 124·159 = 4784 mm²
I = (BH³ − bh³)/12 = 2,099 × 10⁷ mm⁴
Радіус інерції
r = √(I/A) = √(2,099 × 10⁷/4784) = 66,24 mm
Відповідь
r = 66,24 mm
12.Центр ваги й момент інерції
Відповідь: Ix = 221,7 × 10⁶ mm⁴
Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має Ic = bh³/12, а круг — Ic = πd⁴/64.
Центр ваги
ȳ = (30000·150 − 1500·105)/(30000 − 1500) = 152,4 mm