Статика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вектори: скалярний і векторний добутки

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Одиничний вектор: û = a/|a|
Компоненти за кутом: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярний добуток: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b: a·b/|b|
Робота: W = F·d
Векторний добуток: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площі: паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O: M_O = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Рами та механізми

Рівновага кожного стрижня: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень: сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі: однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі: F = √(F_x² + F_y²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль: F_in·a = F_out·b
Колінно-важільний механізм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження

Метод

Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Задачі для практики

1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня

Стала сила F = (−20, 0, 15) N діє на тіло, яке рухається по прямій від точки A(−1, 3, 1) до точки B(−1, 0, −4). Координати подано в метрах. Знайдіть роботу W, виконану силою.

F = (−20, 0, 15) NA(−1, 3, 1) mB(−1, 0, −4) m

W = J

2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна

Одиничний вектор n̂ перпендикулярний до обох векторів a = (−4, 5, 3) і b = (−3, 5, 1) та має додатну z-компоненту. Знайдіть його y-компоненту n̂_y.

a = (−4, 5, 3)b = (−3, 5, 1)n̂_z > 0

n̂_y =

3.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 3 m від A і зосередженим моментом M, що діє за годинниковою стрілкою, на відстані 6 m від A. Знайдіть вертикальну реакцію R_B, вважаючи напрямок угору додатним.

L = 8 mP = 35 kN у 3 mM = 60 kN·m (за годинниковою стрілкою) у 6 m

R_B = kN

4.Опорні реакції балокСкладна

Балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B на відстані 4,5 m від A та консоль за B до вільного кінця C. Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 3,5 m від A і рівномірно розподіленим навантаженням w від 2,5 m до вільного кінця в 6 m. Знайдіть вертикальну реакцію R_B, вважаючи напрямок угору додатним.

AB = 4,5 mAC = 6 mP = 25 kN у 3,5 mw = 2 kN/m від 2,5 до 6 m

R_B = kN

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 30 kN ↓D: 30 kN ↓F: 40 kN ↓G: 15 kN ↓H: 15 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент BG
13елемент DG

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 8 mвисота = 4 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 20 kNгоризонтальне навантаження = 15 kN →

F_AC = kN

7.Рами та механізмиСередня

Показана А-подібна рама стоїть на шарнірній опорі в A і котковій опорі в B на відстані 3 м одна від одної. Ноги сходяться в шарнірі C на висоті 4,5 м, а горизонтальна затяжка DE на 1 м над землею. У C діє навантаження 5 кН. Знайдіть модуль сили C, з якою шарнір C діє на ногу BC.

P = 5 kNAB = 3 mвисота C = 4,5 mвисота DE = 1 m

C = kN

8.Рами та механізмиСкладна

Однорідна горизонтальна стріла AB вагою 1 кН закріплена шарніром до стіни в A і утримується канатом від її кінця B до точки C на стіні на 3 м вище від A. У B висить вантаж 15 кН. Знайдіть натяг T каната.

W = 15 kNW_b = 1 kNAB = 3 mAC = 3 m

T = kN

9.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

15 kN @ 6 m8 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 1 m за B до вільного кінця C. Рівномірно розподілене навантаження w діє по всій довжині A–C. Знайдіть максимальний додатний згинальний момент M_max між опорами.

L = 9 mw = 2 kN/m від 0 до 9 mопори в x = 0 і x = 8 m

M_max = kN·m

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 140 mmt_f = 25 mmt_w = 10 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Зварний двотавровий переріз має верхню полицю 160 × 22 mm, стінку висотою 280 mm і товщиною 12 mm та нижню полицю 240 × 18 mm (ширина × товщина). Знайдіть його момент інерції I_x відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

верхня полиця: 160 × 22 mmстінка: 12 × 280 mmнижня полиця: 240 × 18 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Розчини

1.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: W = −75 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Переміщення

d = B − A = (−1, 0, −4) − (−1, 3, 1) = (0, −3, −5) m

Робота

W = F·d = (−20)·0 + 0·(−3) + 15·(−5) = −75 J

Відповідь

W = −75 J

Від’ємна робота: сила здебільшого діє проти руху.

2.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: n̂_y = 0,4082

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторний добуток

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 5·1 − 3·5 = −10

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 3·(−3) − (−4)·1 = −5

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−4)·5 − 5·(−3) = −5

Нормування

z-компонента a × b від’ємна, тож використайте −(a × b).

|a × b| = √((−10)² + (−5)² + (−5)²) = 12,25

n̂ = −(−10, −5, −5)/12,25 = (0,8165, 0,4082, 0,4082)

n̂_y = 0,4082

Відповідь

n̂_y = 0,4082

3.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 20,63 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Моменти відносно A

Проти годинникової стрілки — додатний напрямок.

ΣM_A = 0: R_B·8 − 35·3 − 60 = 0

R_B = 165/8 = 20,63 kN

Рівновага по вертикалі

R_A = 35 − 20,63 = 14,38 kN

Відповідь

R_B = 20,63 kN

Від’ємна реакція спрямована вниз.

4.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 26,06 kN

Рівнодійна розподіленого навантаження

W = 2·3,5 = 7 kN, x̄ = (2,5 + 6)/2 = 4,25 m

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·4,5 = 25·3,5 + 7·4,25

R_B = 117,3/4,5 = 26,06 kN

R_A = 32 − 26,06 = 5,944 kN

Відповідь

R_B = 26,06 kN

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол C

BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 71,25 kN (T), BC: 72,5 kN (T), CD: 72,5 kN (T), DE: 58,75 kN (T), FG: 71,25 kN (C), GH: 58,75 kN (C), AF: 100,8 kN (C), HE: 83,09 kN (C), BF: 31,25 kN (T), CG: 0, DH: 43,75 kN (T), BG: 1,768 kN (C), DG: 19,45 kN (C)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AC = 17,5 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 20·1 + 15·4 → C_y = 10 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 10 = 10 kN

ΣF_x = 0: A_x = −15 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 4/8,062 = 0,4961, cos γ = 7/8,062 = 0,8682

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −10/0,4961 = −20,16 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−20,16)·0,8682 = 17,5 kN

Відповідь

F_AC = 17,5 kN (розтяг)

7.Рами та механізми

Відповідь: C = 2,72 kN

Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.

Сила в затяжці з ноги BC

B_y = 2,5 kN

T = 2,5·1,5/3,5 = 1,071 kN

Складові сили в шарнірі на BC

C_x = T = 1,071 kN, C_y = −B_y = −2,5 kN

Модуль

C = √(1,071² + 2,5²) = 2,72 kN

Відповідь

C = 2,72 kN

8.Рами та механізми

Відповідь: T = 21,92 kN

Кут каната

BC = √(3² + 3²) = 4,243 m, sin β = 0,7071

Моменти відносно A

T·0,7071·3 = 15·3 + 1·1,5

T = 21,92 kN

Відповідь

T = 21,92 kN

9.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: D (x = 6 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 55,5 kN, R₂ = 55,5 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 95, M_C = 158, M_D = 189 kN·m, M_E = 158, M_F = 95, M_G = 0

Відповідь

Позначка D: M_D = 189 kN·m

10.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 15,5 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки з урахуванням навантаження на консолі.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 2·9 = 18 kN, прикладена в x̄ = 4,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 2·9·4,5

R_B = 81/8 = 10,13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 18 − 10,13 = 7,875 kN

Нульова поперечна сила

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 7,875/2 = 3,938 m

Максимальний додатний момент

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 7,875²/(2·2) = 15,5 kN·m

Відповідь

M_max = 15,5 kN·m

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 36,7 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 140·25 = 3500 mm², y_f = 240 + 25/2 = 252,5 mm

стінка: A_w = 10·240 = 2400 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3500·252,5 + 2400·120)/5900 = 198,6 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 140·25³/12 + 3500·(252,5 − 198,6)² = 1,035 × 10⁷ mm⁴

стінка: 10·240³/12 + 2400·(120 − 198,6)² = 2,635 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,035 × 10⁷ + 2,635 × 10⁷ = 3,67 × 10⁷ mm⁴ = 36,7 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 36,7 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 197,3 × 10⁶ mm⁴

Розділіть на три прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

верхня полиця: A = 3520 mm², y = 309 mm

стінка: A = 3360 mm², y = 158 mm

нижня полиця: A = 4320 mm², y = 9 mm

Центр ваги

ȳ = (3520·309 + 3360·158 + 4320·9)/11200 = 148 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

верхня полиця: 160·22³/12 + 3520·161² = 9,14 × 10⁷ mm⁴

стінка: 12·280³/12 + 3360·10,01² = 2,229 × 10⁷ mm⁴

нижня полиця: 240·18³/12 + 4320·139² = 8,357 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,14 × 10⁷ + 2,229 × 10⁷ + 8,357 × 10⁷

I_x = 1,973 × 10⁸ mm⁴ = 197,3 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 197,3 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics